Inverse über die Adjunkte
Voraussetzung: Determinante einer 3x3-Matrix
Für eine \(2\times 2\)-Matrix kennst du eine feste Formel für die Inverse. Bei \(3\times 3\) gibt es ein Verfahren mit denselben Bausteinen, die Adjunkte: Du bildest aus lauter kleinen \(2\times 2\)-Determinanten eine Matrix, transponierst sie und teilst durch die Determinante von \(A\). Es ist länger als das Gauß-Verfahren, aber mechanisch, und es gibt jeden Eintrag der Inversen einzeln her. Voraussetzung ist die Determinante einer \(3\times 3\)-Matrix und das Transponieren.
Die Inverse einer regulären Matrix \(A\), also mit \(\det A\neq 0\), ist
\[ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot\operatorname{adj}(A). \]
So bestimmst du die Adjunkte \(\operatorname{adj}(A)\):
- Bestimme zu jedem Eintrag die Unterdeterminante: Streiche die Zeile und die Spalte des Eintrags und berechne die Determinante der übrigen \(2\times 2\)-Matrix.
- Versieh jeden Eintrag mit einem Vorzeichen, das wie auf einem Schachbrett wechselt: Der Eintrag in Zeile \(i\) und Spalte \(j\) bekommt \((-1)^{i+j}\), das gibt \(\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}\). Das Ergebnis heißt Kofaktor \(C_{ij}\).
- Schreibe die Kofaktoren als Matrix und transponiere sie. Das ist die Adjunkte.
Warum das funktioniert: Multiplizierst du eine Zeile von \(A\) mit den zugehörigen Kofaktoren, ist das die Entwicklung der Determinante nach dieser Zeile, es kommt \(\det A\) heraus. Multiplizierst du sie mit den Kofaktoren einer anderen Zeile, entsteht die Determinante einer Matrix mit zwei gleichen Zeilen, und die ist \(0\). Darum gilt \(A\cdot\operatorname{adj}(A)=\det A\cdot E\), und durch \(\det A\) geteilt ist \(\operatorname{adj}(A)/\det A\) die Inverse. Das Transponieren sorgt dafür, dass Zeilen von \(A\) auf Spalten der Adjunkten treffen.
Zuerst die Determinante: \(\det A=2\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1+0-0-0-0=3\). Sie ist ungleich null, also gibt es eine Inverse. Die Kofaktoren, Zeile für Zeile: \(C_{11}=+(1\cdot 1-1\cdot 0)=1\), \(C_{12}=-(0\cdot 1-1\cdot 1)=1\), \(C_{13}=+(0\cdot 0-1\cdot 1)=-1\); \(C_{21}=-(1\cdot 1-0\cdot 0)=-1\), \(C_{22}=+(2\cdot 1-0\cdot 1)=2\), \(C_{23}=-(2\cdot 0-1\cdot 1)=1\); \(C_{31}=+(1\cdot 1-0\cdot 1)=1\), \(C_{32}=-(2\cdot 1-0\cdot 0)=-2\), \(C_{33}=+(2\cdot 1-1\cdot 0)=2\). Die Kofaktormatrix:
\[ C=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&2&1\\1&-2&2\end{pmatrix}. \]
Ihre Transponierte ist die Adjunkte:
\[ \operatorname{adj}(A)=C^T=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&2&-2\\-1&1&2\end{pmatrix}. \]
Durch \(\det A=3\) geteilt:
\[ A^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&2&-2\\-1&1&2\end{pmatrix}. \]
Zur Probe: Zeile 1 von \(A\) mal Spalte 1 der Adjunkten ist \(2\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot(-1)=3\), und geteilt durch \(\det A\) ergibt das die \(1\) der Einheitsmatrix.
Wann sich die Adjunkte lohnt
Bei einer \(3\times 3\)-Matrix ist das Gauß-Jordan-Verfahren oft kürzer. Die Adjunkte lohnt sich, wenn du nur einen einzelnen Eintrag der Inversen brauchst: Dann rechnest du nur den einen Kofaktor und teilst durch die Determinante. Für den Eintrag in Zeile 1 und Spalte 2 von \(A^{-1}\) im Beispiel genügt \(C_{21}\div\det A=-1\div 3\).
Für eine 2x2-Matrix
Die bekannte Formel \(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\) ist derselbe Weg. Die Unterdeterminanten sind die einzelnen Einträge, die Schachbrett-Vorzeichen \(\begin{pmatrix}+&-\\-&+\end{pmatrix}\) geben \(\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}\), und das Transponieren tauscht \(-c\) und \(-b\).