Inverse mit Gauß-Jordan
Voraussetzung: Ganzer Gauß-Lauf
Die Inverse einer Matrix lässt sich mit denselben Zeilenumformungen finden, mit denen du Gleichungssysteme löst. Du schreibst neben die Matrix die Einheitsmatrix und formst beide Hälften gemeinsam um, bis links die Einheitsmatrix steht. Rechts steht dann die Inverse. Das Verfahren funktioniert für jede Größe, zeigt von selbst, ob es eine Inverse gibt, und ist bei \(3\times 3\) oft schneller als die Adjunkte. Voraussetzung ist der ganze Gauß-Lauf.
So gehst du vor:
- Schreibe \((A\,|\,E)\) auf: links die Matrix \(A\), rechts die Einheitsmatrix \(E\) gleicher Größe.
- Forme mit Zeilenumformungen so um, dass links die Einheitsmatrix entsteht. Erlaubt sind: eine Zeile mit einer Zahl ungleich null multiplizieren, zwei Zeilen vertauschen, ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren. Jede Zeile wird auf beiden Seiten des Strichs gleich umgeformt.
- Dann steht \((E\,|\,A^{-1})\) da: Rechts liest du die Inverse ab.
Warum das stimmt: Jede Zeilenumformung entspricht einer Multiplikation von links mit einer Matrix. Alle Umformungen zusammen ergeben eine Matrix \(B\) mit \(B\cdot A=E\). Dieselbe Matrix \(B\) wirkt auf die Einheitsmatrix rechts: \(B\cdot E=B\). Also ist \(B=A^{-1}\). Lässt sich links keine Einheitsmatrix erreichen, weil eine Nullzeile entsteht, sind die Zeilen von \(A\) voneinander abhängig. Dann ist \(A\) singulär und hat keine Inverse.
Du beginnst mit \((A\,|\,E)\) und arbeitest von links oben nach rechts unten, dann von unten nach oben:
- Zeile 2 minus Zeile 1 gibt Zeile 2 zu \((0\ \ 1\ \ 1\,|\,-1\ \ 1\ \ 0)\).
- Zeile 3 minus Zeile 2 gibt Zeile 3 zu \((0\ \ 0\ \ 1\,|\,1\ \ -1\ \ 1)\).
- Zeile 2 minus Zeile 3 gibt Zeile 2 zu \((0\ \ 1\ \ 0\,|\,-2\ \ 2\ \ -1)\).
- Zeile 1 minus Zeile 2 gibt Zeile 1 zu \((1\ \ 0\ \ 0\,|\,3\ \ -2\ \ 1)\).
Links steht die Einheitsmatrix. Rechts steht
\[ A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-2&1\\-2&2&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}. \]
Zur Probe: Zeile 1 von \(A\) mal Spalte 1 der Inversen ist \(1\cdot 3+1\cdot(-2)+0\cdot 1=1\), und Zeile 2 von \(A\) mal Spalte 1 ist \(1\cdot 3+2\cdot(-2)+1\cdot 1=0\).
Ein zweites Beispiel, keine Inverse
Für \(B=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\) steht anfangs \((1\ \ 2\,|\,1\ \ 0)\) und \((2\ \ 4\,|\,0\ \ 1)\). Zeile 2 minus 2 mal Zeile 1 gibt \((0\ \ 0\,|\,-2\ \ 1)\). Links steht eine Nullzeile, also lässt sich nie die Einheitsmatrix erreichen. Die Matrix \(B\) ist singulär, es gibt keine Inverse. Das passt zu \(\det B=1\cdot 4-2\cdot 2=0\).
Wenn das Pivotelement nicht 1 ist
Für \(C=\begin{pmatrix}2&4\\1&3\end{pmatrix}\) beginnst du mit \((2\ \ 4\,|\,1\ \ 0)\) und \((1\ \ 3\,|\,0\ \ 1)\). Teile Zeile 1 durch \(2\): \((1\ \ 2\,|\,\frac12\ \ 0)\). Zeile 2 minus Zeile 1 gibt \((0\ \ 1\,|\,-\frac12\ \ 1)\). Zeile 1 minus 2 mal Zeile 2 gibt \((1\ \ 0\,|\,\frac32\ \ -2)\). Die Inverse ist \(C^{-1}=\begin{pmatrix}\frac32&-2\\-\frac12&1\end{pmatrix}\).