Direktverbrauch
Voraussetzung: Produktionskoeffizient
Du hast die Technologiematrix \(A\). Jetzt fragst du: Wenn die Sektoren die Mengen \(x_1,\dots,x_n\) herstellen, wie viel von jedem Gut verbrauchen sie dabei selbst? Das ist der Direktverbrauch, im Skript der Verbrauch durch Verflechtung. In Matrixschreibweise ist er \(A\cdot x\). Voraussetzung sind der Produktionskoeffizient und das Produkt einer Matrix mit einem Vektor.
Du rechnest in drei Schritten, für Gut \(i\) gilt:
- Sektor \(j\) braucht für eine Einheit seiner Produktion \(a_{ij}\) Einheiten von Gut \(i\).
- Er stellt \(x_j\) Einheiten her, also braucht er insgesamt \(a_{ij}\cdot x_j\) Einheiten von Gut \(i\).
- Du addierst über alle Sektoren \(j\): \(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\dots+a_{in}x_n\).
Das ist die Zeile \(i\) von \(A\) mal der Produktionsvektor. Für alle Güter zusammen steht \(A\cdot x\) da, ein Vektor mit einem Eintrag je Gut.
Warum die Zeile und nicht die Spalte: Die Zeile \(i\) von \(A\) gehört zum Gut \(i\) und zeigt, wie viel davon jeder Sektor je Einheit braucht. Die Spalte \(j\) beschreibt, was ein einzelner Sektor von allen Gütern einsetzt. Der Verbrauch eines Gutes sammelt darum die Zeile, der Bedarf eines Sektors die Spalte.
\[ A=\begin{pmatrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\[2pt]\frac{1}{5}&\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\[2pt]\frac{3}{10}&\frac{1}{10}&\frac{2}{5}\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}100\\200\\100\end{pmatrix} \]
Gut 1: \(\frac{1}{10}\cdot 100+\frac{1}{5}\cdot 200+\frac{1}{5}\cdot 100=10+40+20=70\). Gut 2: \(\frac{1}{5}\cdot 100+\frac{1}{10}\cdot 200+\frac{1}{10}\cdot 100=20+20+10=50\). Gut 3: \(\frac{3}{10}\cdot 100+\frac{1}{10}\cdot 200+\frac{2}{5}\cdot 100=30+20+40=90\). Der Direktverbrauch ist \(A\cdot x=(70,\,50,\,90)\). Das sind genau die Lieferungen an die Sektoren aus der Tabelle, also die Zeilen ohne die Endnachfrage. Das ist die Probe.
Das Format
Die Matrix \(A\) hat \(n\) Zeilen und \(n\) Spalten, der Produktionsvektor \(x\) hat \(n\) Zeilen und eine Spalte. Links steht die Matrix, denn ihre Spaltenzahl muss zur Zeilenzahl des Vektors passen. Das Ergebnis \(A\cdot x\) hat \(n\) Zeilen und eine Spalte, einen Direktverbrauch je Gut.
Ein zweites Beispiel, die Produktion wächst
Die Technologie bleibt, die Produktion steigt auf \(x=(110,\,200,\,120)\). Dann ist der Verbrauch von Gut 1 \(\frac{1}{10}\cdot 110+\frac{1}{5}\cdot 200+\frac{1}{5}\cdot 120=11+40+24=75\), von Gut 2 \(22+20+12=54\) und von Gut 3 \(33+20+48=101\). Der Verbrauch ist von \((70,\,50,\,90)\) auf \((75,\,54,\,101)\) gestiegen. Mehr Produktion braucht mehr Vorleistung, und \(A\) verrät, wie viel mehr.