Produktionskoeffizient
Voraussetzung: Zeile der Tabelle
Die Tabelle zeigt, was in einer Periode geliefert wurde. Für Prognosen brauchst du etwas anderes: wie viel ein Sektor für eine einzelne Einheit seiner Produktion braucht. Das ist der Produktionskoeffizient. Die Matrix aller Koeffizienten heißt Produktionskoeffizienten- oder Technologiematrix und trägt den Buchstaben \(A\). Voraussetzung ist die Zeile der Tabelle mit ihrer Gesamtproduktion.
Der Koeffizient \(a_{ij}\) ist die Lieferung von Sektor \(i\) an Sektor \(j\), geteilt durch die Gesamtproduktion des Empfängers \(j\):
\[ a_{ij}=\frac{u_{ij}}{x_j}. \]
- Der Nenner gehört zum Empfänger, also zur Spalte. Er sagt, auf wie viele Einheiten sich der Bedarf verteilt.
- \(a_{ij}\) heißt: Für eine Einheit seiner Produktion braucht Sektor \(j\) genau \(a_{ij}\) Einheiten von Gut \(i\).
- Die Spalte \(j\) von \(A\) ist deshalb das Rezept von Sektor \(j\). Die Zeile \(i\) von \(A\) zeigt, wie sich Gut \(i\) auf die Empfänger verteilt.
Warum durch den Empfänger geteilt wird: Die Lieferung \(u_{ij}\) wurde in der Periode gebraucht, um \(x_j\) Einheiten herzustellen. Teilst du durch \(x_j\), bekommst du den Bedarf für eine einzige Einheit. Würdest du durch die Produktion des Lieferanten teilen, bekämst du etwas anderes, nämlich welcher Teil seiner Produktion an \(j\) ging, und damit lässt sich später nichts hochrechnen.
| Zeile | an 1 | an 2 | an 3 | Markt | Gesamt |
|---|---|---|---|---|---|
| Sektor 1 | 10 | 40 | 20 | 30 | 100 |
| Sektor 2 | 20 | 20 | 10 | 150 | 200 |
| Sektor 3 | 30 | 20 | 40 | 10 | 100 |
Du teilst jede Spalte durch die Gesamtproduktion ihres Sektors. Spalte 1 durch \(100\): \(a_{11}=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}\), \(a_{21}=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\), \(a_{31}=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}\). Spalte 2 durch \(200\): \(a_{12}=\frac{40}{200}=\frac{1}{5}\), \(a_{22}=\frac{1}{10}\), \(a_{32}=\frac{1}{10}\). Spalte 3 durch \(100\): \(a_{13}=\frac{1}{5}\), \(a_{23}=\frac{1}{10}\), \(a_{33}=\frac{2}{5}\).
\[ A=\begin{pmatrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\[2pt]\frac{1}{5}&\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\[2pt]\frac{3}{10}&\frac{1}{10}&\frac{2}{5}\end{pmatrix} \]
Die zweite Spalte liest du so: Für eine Einheit seiner Produktion braucht Sektor 2 ein Fünftel Einheit von Sektor 1, ein Zehntel von Sektor 2 selbst und ein Zehntel von Sektor 3.
Von der Matrix zurück zur Lieferung
Aus dem Koeffizienten und der Produktion folgt die Lieferung: \(u_{ij}=a_{ij}\cdot x_j\). Im Beispiel liefert Sektor 2 an Sektor 3 die Menge \(a_{23}\cdot x_3=\frac{1}{10}\cdot 100=10\), und genau das steht in der Tabelle. Mit dieser Umkehrung rechnest du in den nächsten Schritten, wenn sich die Produktion ändert und die Tabelle nicht mehr gilt.
Ein zweites Beispiel, die Spaltensumme
Die Summe der Koeffizienten einer Spalte ist der Bedarf an Vorleistungen je Einheit. Für Spalte 1 ist \(\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+\frac{3}{10}=\frac{3}{5}\): Für eine Einheit braucht Sektor 1 insgesamt \(\frac{3}{5}\) Einheiten von den Sektoren. Das ist kleiner als \(1\), und das muss es sein, damit eine Volkswirtschaft mehr herstellt, als ihre Sektoren selbst verbrauchen.