Die Matrix E minus A
Voraussetzung: Endnachfrage
Aus der Gleichgewichtsbeziehung \(x=A\cdot x+y\) hast du die Endnachfrage \(y=x-A\cdot x\) bekommen. Um später nach \(x\) aufzulösen, soll \(x\) nur einmal vorkommen. Dazu schreibst du \(x=E\cdot x\), mit der Einheitsmatrix \(E\), und klammerst \(x\) aus:
\[ y=E\cdot x-A\cdot x=(E-A)\cdot x. \]
Die Matrix \(E-A\) heißt Leontief-Matrix. Voraussetzung sind die Endnachfrage und das Subtrahieren von Matrizen Eintrag für Eintrag.
Die Einheitsmatrix hat die \(1\) auf der Diagonale und die \(0\) daneben. Zieht man \(A\) Eintrag für Eintrag davon ab, folgt:
- Auf der Diagonale steht \(1-a_{ii}\).
- Neben der Diagonale steht \(0-a_{ij}=-a_{ij}\).
Die Diagonale hat eine Besonderheit: \(a_{ii}\) ist das, was Sektor \(i\) von seinem eigenen Gut je Einheit selbst braucht. Von jeder hergestellten Einheit bleibt nach diesem Eigenverbrauch nur \(1-a_{ii}\) für andere übrig. Neben der Diagonale steht das Minus, weil die Lieferung an einen anderen Sektor dem Markt entgeht.
\[ E-A=\begin{pmatrix}\frac{9}{10}&-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\\[2pt]-\frac{1}{5}&\frac{9}{10}&-\frac{1}{10}\\[2pt]-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}&\frac{3}{5}\end{pmatrix} \]
Auf der Diagonale: \(1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\), \(1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\) und \(1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\). Daneben steht \(-a_{ij}\) mit umgekehrtem Vorzeichen. Zur Probe multiplizierst du mit der Produktion \(x=(100,\,200,\,100)\): Die erste Zeile gibt \(\frac{9}{10}\cdot 100-\frac{1}{5}\cdot 200-\frac{1}{5}\cdot 100=90-40-20=30\), die zweite \(-20+180-10=150\), die dritte \(-30-20+60=10\). Das ist die Endnachfrage \((30,\,150,\,10)\) aus der Tabelle.
Wozu die Matrix gebraucht wird
Mit \(E-A\) schreibst du die erste Frage des Modells als Produkt: Zu einem Plan \(x\) gehört die Endnachfrage \((E-A)\cdot x\). Die zweite Frage dreht es um: Zu einer gewünschten Endnachfrage \(y\) suchst du die Produktion \(x\). Das gelingt, wenn sich \(E-A\) invertieren lässt, und das ist der Inhalt des nächsten Schritts.
Ein zweites Beispiel, die Determinante
Eine Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante nicht null ist. Für zwei Sektoren mit \(A=\begin{pmatrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{5}\\[2pt]\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{pmatrix}\) ist \(E-A=\begin{pmatrix}\frac{9}{10}&-\frac{3}{5}\\[2pt]-\frac{1}{5}&\frac{7}{10}\end{pmatrix}\). Die Determinante ist \(\frac{9}{10}\cdot\frac{7}{10}-\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{63}{100}-\frac{12}{100}=\frac{51}{100}\). Sie ist nicht null, also gibt es die Inverse von \(E-A\).