Endnachfrage
Voraussetzung: Direktverbrauch
Die Sektoren produzieren, und ein Teil davon bleibt in der Wirtschaft, weil die Sektoren ihn selbst verbrauchen. Der Rest geht an den Markt. Dieser Rest ist die Endnachfrage, die ein Produktionsplan bedienen kann. Das ist die erste Frage des Leontief-Modells: Wie viel bleibt für den Markt übrig, wenn die Sektoren nach einem festen Plan produzieren? Voraussetzung ist der Direktverbrauch.
Das Leontief-Modell sagt für jedes Gut dasselbe: Gesamtproduktion gleich Direktverbrauch plus Endnachfrage. In Vektorschreibweise ist das
\[ x=A\cdot x+y. \]
Stellst du nach der Endnachfrage um, bekommst du
\[ y=x-A\cdot x. \]
- \(x\) ist der Produktionsvektor, \(A\cdot x\) der Direktverbrauch, \(y\) die Endnachfrage. Im Tutoriumsskript heißen \(x\) und \(y\) die Vektoren \(U\) und \(X\).
- Jedes Gut einzeln: \(y_i=x_i-(a_{i1}x_1+\dots+a_{in}x_n)\). Du rechnest erst den Direktverbrauch und ziehst ihn dann ab.
- Wegen \(x-A\cdot x=(E-A)\cdot x\) lässt sich das auch in einer Matrix schreiben. Die Matrix \(E-A\) kommt im nächsten Schritt.
Das Ergebnis liest du als Menge: Von \(x_i\) Einheiten des Gutes \(i\) gehen \(y_i\) Einheiten an den Markt, den Rest verbrauchen die Sektoren. Die Endnachfrage kann nicht negativ sein. Wäre \(y_i\) negativ, würden die Sektoren mehr verbrauchen, als sie herstellen, und der Plan ließe sich nicht ausführen.
Für Gut 1 ist \(y_1=100-70=30\), für Gut 2 ist \(y_2=200-50=150\) und für Gut 3 ist \(y_3=100-90=10\). Die Endnachfrage ist \(y=(30,\,150,\,10)\). Das ist genau die Spalte „Markt“ der Ausgangstabelle, also stimmt die Rechnung.
Wenn sich der Produktionsplan ändert
Der Plan lautet jetzt \(x=(110,\,200,\,120)\), die Technologie bleibt. Der Direktverbrauch ist \(A\cdot x=(75,\,54,\,101)\). Die Endnachfrage ist \(y=(110-75,\ 200-54,\ 120-101)=(35,\,146,\,19)\). Weil die Sektoren mehr verbrauchen, wächst die Endnachfrage von Gut 1 und Gut 3 weniger als die Produktion.
Ein zweites Beispiel, ein Plan, der nicht geht
Mit zwei Sektoren sei \(A=\begin{pmatrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{2}\\[2pt]\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{pmatrix}\) und die Produktion \(x=(10,\,40)\). Der Direktverbrauch von Gut 2 ist \(\frac{1}{5}\cdot 10+\frac{2}{5}\cdot 40=2+16=18\), das ist weniger als \(40\), also bleibt \(y_2=22\). Für Gut 1 ist der Verbrauch \(\frac{3}{10}\cdot 10+\frac{1}{2}\cdot 40=3+20=23\), und das ist mehr als die Produktion \(10\). Die Endnachfrage \(y_1=10-23=-13\) ist negativ: Dieser Plan lässt sich nicht ausführen, Sektor 1 müsste mehr herstellen.