Die Leontief-Inverse ist (I−A) hoch −1. Eine Zeile davon, mal die Endnachfrage, ist die Produktion dieses Sektors. Dazu: Leontief-Inverse
Voraussetzung: Inverse
Hilft vorher: Matrix E minus A
Die zweite Frage des Leontief-Modells lautet: Welche Produktionsmengen sind nötig, wenn die Endnachfrage vorgegeben ist? Beim Direktverbrauch war die Produktion gegeben und die Endnachfrage gesucht. Jetzt ist es umgekehrt, und dafür gibt es die Leontief-Inverse. Voraussetzung sind die Matrix \(E-A\) und die Inverse einer Matrix.
Du startest bei der Gleichung \((E-A)\cdot x=y\) und löst nach \(x\) auf. Weil du nicht durch eine Matrix teilen darfst, multiplizierst du beide Seiten von links mit der Inversen:
\[ x=(E-A)^{-1}\cdot y. \]
Die Matrix \((E-A)^{-1}\) heißt Leontief-Inverse, hier \(L\) genannt. Du rechnest in vier Schritten.
- Die Matrix \(E-A\) aus der Technologiematrix bilden.
- Die Inverse \(L=(E-A)^{-1}\) bestimmen, bei \(2\times 2\) mit der Formel, sonst mit Gauß-Jordan.
- Die Zeile \(i\) von \(L\) mit \(y\) multiplizieren: \(x_i=l_{i1}y_1+\dots+l_{in}y_n\).
- Zur Probe \((E-A)\cdot x\) rechnen. Es muss wieder \(y\) herauskommen.
Was ein Eintrag der Inversen bedeutet: \(l_{ij}\) ist die Produktion von Sektor \(i\), die nötig ist, damit eine Einheit mehr Endnachfrage nach Gut \(j\) bedient werden kann. Darin stecken die direkte Lieferung und alle Vorleistungen, die dafür wieder gebraucht werden. Deshalb sind die Einträge der Diagonale mindestens \(1\) und die Produktion größer als die Endnachfrage.
Zuerst \(E-A=\begin{pmatrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\\[2pt]-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{pmatrix}\). Die Determinante ist \(\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{5}-\left(-\frac{1}{10}\right)\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{6}{50}-\frac{1}{50}=\frac{1}{10}\). Bei einer \(2\times 2\)-Matrix tauschst du die Diagonale, wechselst das Vorzeichen daneben und teilst durch die Determinante. Das gibt \(L=10\cdot\begin{pmatrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{10}\\[2pt]\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}\). Die Produktion ist \(x_1=4\cdot 30+1\cdot 10=130\) und \(x_2=2\cdot 30+3\cdot 10=90\). Die Probe: \(\frac{3}{10}\cdot 130-\frac{1}{10}\cdot 90=39-9=30\) und \(-\frac{1}{5}\cdot 130+\frac{2}{5}\cdot 90=-26+36=10\). Das ist \(y\).
Wenn die Nachfrage steigt
Die Rechnung ist linear. Steigt die Endnachfrage um \(\Delta y=(10,\,0)\), steigt die Produktion um \(L\cdot\Delta y=(40,\,20)\). Du musst nicht neu rechnen, denn \(x\) für den neuen Plan ist die alte Produktion plus diese Änderung. Im Beispiel kommen zu \((130,\,90)\) genau \((40,\,20)\) hinzu, also \((170,\,110)\).
Ein zweites Beispiel, mehr als eine Stufe
Warum \(L\) größer ist als \(E\): Für eine Einheit Endnachfrage braucht Sektor 1 direkt \(\frac{7}{10}\) Einheit von sich selbst und \(\frac{1}{5}\) Einheit von Sektor 2. Dafür wiederum brauchen die Sektoren Vorleistungen, und so fort. Alle Stufen zusammen sind genau die Inverse: \(l_{11}=4\) heißt, für jede Einheit Endnachfrage nach Gut 1 muss Sektor 1 insgesamt vier Einheiten produzieren.