Voraussetzung: Was ist ein Bruch?
Brüche kürzen und erweitern
1. Brüche kürzen
Zwei Brüche können unterschiedlich aussehen und trotzdem denselben Wert haben. Beispielsweise ist es egal, ob du zwei Brote auf vier Personen oder vier Brote auf acht Personen gleichmäßig aufteilst: Jede Person erhält jeweils ein halbes Brot.
\[ \frac{2}{4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]
Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Dadurch ändert sich der Wert des Bruchs nicht.
Beispiel.
\[ \frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4} \]
Vollständig gekürzt
Du darfst nur durch eine Zahl teilen, die sowohl den Zähler als auch den Nenner ohne Rest teilt. Vollständig gekürzt ist ein Bruch, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 mehr haben.
Gemeinsamer Teiler
Ein gemeinsamer Teiler muss den ganzen Zähler und den ganzen Nenner teilen. Eine einzelne Ziffer reicht dafür nicht. Kürze so lange, bis kein gemeinsamer Teiler größer als 1 mehr bleibt.
2. Brüche erweitern
Das Erweitern funktioniert umgekehrt: Du multiplizierst Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Auch dabei bleibt der Wert des Bruchs unverändert.
Beispiel.
\[ \frac{3}{4}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac{15}{20} \]
Warum funktioniert das
Wenn du Zähler und Nenner mit derselben Zahl \(c\neq 0\) multiplizierst, multiplizierst du den Bruch insgesamt mit
\[\frac{c}{c}=1.\]
Da die Multiplikation mit \(1\) den Wert nicht verändert, gilt allgemein:
\[\boxed{\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}}\]
Dabei muss \(b\neq 0\) und \(c\neq 0\) gelten.
Derselbe Faktor
Für eine ganze Zahl \(c\neq 0\) gilt \(\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}\). Teilt \(c\) Zähler und Nenner, ist der umgekehrte Schritt das Kürzen: \(\frac{a}{b}=\frac{a\div c}{b\div c}\). Steht ein Faktor schon da, kürzt er auch als Buchstabe, und er ist nicht 0. Gekürzt wird ein gemeinsamer Faktor. In \(x+3\) ist \(x\) ein Summand. Er teilt den ganzen Zähler nicht.