Polstelle und Asymptote
Voraussetzung: Grenzwert für x gegen unendlich und an einer Stelle
Bei einer gebrochen rationalen Funktion zeigt der Nenner, wo es kritisch wird. An manchen Stellen wächst der Funktionswert über alle Grenzen, an anderen fehlt nur ein einzelner Punkt, und für sehr große \(x\) nähert sich der Graph einer Geraden. Das gehört zu jeder Kurvendiskussion einer Funktion mit Nenner, und in der Wirtschaft beschreibt es etwa, wie sich Stückkosten bei großer Menge einem festen Wert nähern. Voraussetzung ist der Grenzwert einer gebrochen rationalen Funktion.
Für \(f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}\) untersuchst du die Nullstellen des Nenners \(q\):
- Ist \(q(a)=0\) und \(p(a)\neq 0\), hat \(f\) bei \(x=a\) eine Polstelle. Der Graph nähert sich der senkrechten Geraden \(x=a\), der senkrechten Asymptote.
- Sind \(p(a)=0\) und \(q(a)=0\) und lässt sich der Faktor \(x-a\) kürzen, ist \(a\) keine Polstelle, sondern eine hebbare Lücke. Der Graph hat dort ein Loch.
Für das Verhalten bei \(x\to\pm\infty\) vergleichst du die Grade:
- Zählergrad kleiner als Nennergrad: Die waagerechte Asymptote ist \(y=0\).
- Gleicher Grad: Die waagerechte Asymptote ist \(y=\) Quotient der Koeffizienten der höchsten Potenzen.
- Zählergrad genau eins größer: Es gibt eine schiefe Asymptote, die du durch Polynomdivision erhältst.
- Zählergrad mehr als eins größer: Es gibt keine Gerade als Asymptote.
Der Nenner ist null für \(x=2\), dort ist der Zähler \(3\cdot 2+1=7\neq 0\). Es gibt eine Polstelle bei \(x=2\), die senkrechte Asymptote ist \(x=2\). Zähler und Nenner haben den Grad \(1\). Der Quotient der Koeffizienten von \(x\) ist \(3\div 1=3\), die waagerechte Asymptote ist \(y=3\).
Ein zweites Beispiel, eine Lücke
Für \(g(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}\) wird der Nenner bei \(x=3\) null, aber auch der Zähler: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Nach dem Kürzen bleibt \(x+3\), bei \(x=3\) wäre der Wert \(6\). Der Graph ist die Gerade \(y=x+3\) mit einem Loch bei \(x=3\). Es gibt keine senkrechte Asymptote.
Eine schiefe Asymptote
Für \(h(x)=\dfrac{x^2+1}{x}\) ist der Zählergrad um eins größer. Mit Polynomdivision gilt \(h(x)=x+\dfrac1x\). Für große \(x\) verschwindet der Bruch, und der Graph nähert sich der Geraden \(y=x\). Außerdem hat \(h\) bei \(x=0\) eine Polstelle.