Lösung über die Inverse
Voraussetzung: Inverse
Hast du die Inverse der Koeffizientenmatrix, brauchst du kein Eliminieren mehr: Die Lösung eines Gleichungssystems ist ein einziges Matrixprodukt. Das lohnt sich vor allem, wenn dasselbe System mit mehreren rechten Seiten gelöst werden soll, und es ist der Weg, den Klausuraufgaben mit einer vorgegebenen Inversen meinen. Voraussetzung sind die Inverse einer Matrix und das Matrixprodukt.
Ein System mit \(n\) Gleichungen und \(n\) Unbekannten schreibst du als
\[ A\cdot x=b \]
mit der Koeffizientenmatrix \(A\), dem Vektor \(x\) der Unbekannten und der rechten Seite \(b\). Ist \(A\) invertierbar, also \(\det A\neq 0\), multiplizierst du beide Seiten von links mit \(A^{-1}\):
\[ A^{-1}\cdot A\cdot x=A^{-1}\cdot b\quad\Longrightarrow\quad x=A^{-1}\cdot b. \]
Eine Komponente von \(x\) ist eine Zeile von \(A^{-1}\) mal \(b\). Die Inverse steht links von \(b\), weil \(A\) links von \(x\) stand.
Die Lösung ist dann auch die einzige: Es gibt genau eine, weil sich aus \(A\cdot x=b\) zwingend \(x=A^{-1}\cdot b\) ergibt. Ist dagegen \(\det A=0\), gibt es keine Inverse, und das System hat keine oder unendlich viele Lösungen. Welcher Fall vorliegt, zeigt das Gauß-Verfahren. Zur Probe setzt du \(x\) ein und prüfst \(A\cdot x=b\).
Das System lautet \(A\cdot x=b\) mit \(A=\begin{pmatrix}3&5\\1&2\end{pmatrix}\) und \(b=\begin{pmatrix}27\\10\end{pmatrix}\). Also ist \(x=A^{-1}\cdot b=\begin{pmatrix}2\cdot 27-5\cdot 10\\-1\cdot 27+3\cdot 10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\). Probe: \(3\cdot 4+5\cdot 3=27\) und \(4+2\cdot 3=10\).
Mehrere rechte Seiten
Ändert sich nur die rechte Seite, bleibt \(A^{-1}\) gleich. Für \(b=\begin{pmatrix}11\\4\end{pmatrix}\) im Beispiel ist \(x=\begin{pmatrix}2\cdot 11-5\cdot 4\\-11+3\cdot 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\). Das ist der Vorteil gegenüber dem Eliminieren: Die Inverse wird einmal berechnet und dann nur noch multipliziert.
Wenn die Matrix singulär ist
Für \(x+2y=3\) und \(2x+4y=6\) ist die Determinante \(1\cdot 4-2\cdot 2=0\). Es gibt keine Inverse. Die zweite Gleichung ist das Doppelte der ersten, also gibt es unendlich viele Lösungen: Jedes \(y\) mit \(x=3-2y\) passt. Hätte die zweite Gleichung \(2x+4y=7\) gelautet, gäbe es keine Lösung.