Sinnvolle Lösungen
Voraussetzung: Freie Variable
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, schreibst du sie mit einem Parameter \(t\) auf. In Aufgaben aus der Wirtschaft sind die Unbekannten oft Mengen: Stückzahlen, Einheiten eines Rohstoffs, Arbeitsstunden. Eine Menge kann nicht negativ sein. Von den unendlich vielen Lösungen sind deshalb nur die sinnvoll, bei denen alle Unbekannten nicht negativ sind, und das schränkt \(t\) auf ein Intervall ein. Voraussetzung ist die Karte zur freien Variable.
Das Vorgehen: Du schreibst für jede Unbekannte die Bedingung \(\ge 0\) auf und löst sie nach \(t\) auf. Jede Bedingung ergibt eine Grenze für \(t\). Kommt \(t\) mit einem Minus vor, etwa in \(x=20-5t\), ist es eine obere Grenze. Kommt es mit einem Plus vor, etwa in \(y=3+2t\), ist es eine untere Grenze. Sinnvoll sind die \(t\), die alle Grenzen gleichzeitig erfüllen.
Beim Auflösen nach \(t\) gelten die Regeln für Ungleichungen: Verschieben von Gliedern wechselt das Vorzeichen des Gliedes, und Teilen durch eine positive Zahl lässt das Zeichen stehen. Aus \(20-5t\ge 0\) wird \(20\ge 5t\) und damit \(t\le 4\). Die Grenze selbst gehört dazu, denn eine Menge darf genau \(0\) sein.
Eine zusätzliche Bedingung
Oft kommt zur Lösungsmenge eine zusätzliche Bedingung hinzu, etwa „insgesamt werden \(17\) Stück hergestellt“. Für die Lösungen aus dem Beispiel ist die Summe \(x+y+z=23-2t\). Aus \(23-2t=17\) folgt \(t=3\), und das liegt im Intervall \(0\le t\le 4\). Die zusätzliche Bedingung legt \(t\) fest. Du prüfst danach, ob der Wert im sinnvollen Intervall liegt. Läge er außerhalb, gäbe es keine sinnvolle Lösung.
Ein zweites Beispiel, ganze Stückzahlen
Sind die Mengen Stückzahlen, müssen sie ganze Zahlen sein. Mit \(x=10-2t\), \(y=t-1\), \(z=t\) gilt \(x\ge 0\) für \(t\le 5\) und \(y\ge 0\) für \(t\ge 1\). Ist \(t\) ganzzahlig, sind \(t=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\) möglich, also fünf sinnvolle Lösungen. Beide Grenzen gehören dazu, denn \(y=0\) bei \(t=1\) und \(x=0\) bei \(t=5\) sind erlaubt.