Gleichungen mit Brüchen
Voraussetzung: Klammern auflösen und lösen
Hilft vorher: Gleicher Nenner
Steht das \(x\) in einem Bruch mit einer Zahl im Nenner, etwa bei \(\frac{x}{4}+1=3\), beseitigst du den Bruch durch Multiplizieren. Du multiplizierst beide Seiten mit dem Nenner, und zwar jedes Glied. Danach liegt eine Gleichung ohne Bruch vor, die du wie bisher löst. Wichtig ist die Bedingung \(c\neq 0\) aus der ersten Karte: Der Nenner ist eine Zahl ungleich null, also ist das Multiplizieren erlaubt.
Der Fehler, der hier am häufigsten vorkommt, ist, nur den Bruch zu multiplizieren und die Zahl daneben zu vergessen. Wird eine Gleichung mit \(4\) multipliziert, wird jedes Glied mit \(4\) multipliziert, auch die \(1\) und die \(3\). Sonst ist es keine Umformung mehr, und die Lösungsmenge ändert sich.
Stehen zwei Brüche mit verschiedenen Nennern in der Gleichung, brauchst du einen Hauptnenner, also eine Zahl, die durch beide Nenner teilbar ist. Bei \(\frac{x}{2}\) und \(\frac{x}{3}\) ist das \(6\), denn \(6\) ist durch \(2\) und durch \(3\) teilbar. Mit \(6\) multipliziert wird \(\frac{x}{2}\) zu \(3x\) und \(\frac{x}{3}\) zu \(2x\).
Zwei Brüche mit einem Hauptnenner
\(\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=10\). Der Hauptnenner ist \(6\). Mit \(6\) multiplizieren, jedes Glied: \(3x+2x=60\). Zusammenfassen: \(5x=60\). Beide Seiten \(\div 5\) gibt \(x=12\). Probe: \(\frac{12}{2}+\frac{12}{3}=6+4=10\).
Die Nenner werden nicht addiert
Beim Addieren von Brüchen werden die Nenner nicht addiert. \(\frac{x}{2}+\frac{x}{3}\) ist nicht \(\frac{2x}{5}\). Erst nach dem Multiplizieren mit dem Hauptnenner entstehen Terme ohne Bruch, die du addieren darfst.
Wenn das x im Nenner steht
Bei \(\frac{15}{x}=3\) steht das \(x\) selbst im Nenner. Dann muss \(x\neq 0\) gelten, denn durch \(0\) kann man nicht teilen. Du multiplizierst mit \(x\) und erhältst \(15=3x\), also \(x=5\). Dieser Fall ist ein Vorgriff: In dieser Reihe stehen Zahlen im Nenner.