Das x steht auf beiden Seiten
Voraussetzung: Gleichungen umformen
Bisher stand das \(x\) nur auf einer Seite. Oft steht es auf beiden, etwa bei \(6x+5=3x+14\). Dann musst du die \(x\)-Terme zuerst auf eine Seite bringen und die Zahlen auf die andere. Das Werkzeug ist dasselbe wie bisher: Du rechnest auf beiden Seiten dasselbe. Jetzt subtrahierst du einen \(x\)-Term auf beiden Seiten, damit er auf einer Seite verschwindet.
So gehst du vor. Erstens: Wähle die Seite, auf der das \(x\) gesammelt wird, und subtrahiere den \(x\)-Term der anderen Seite auf beiden Seiten. Zweitens: Subtrahiere die Zahl der \(x\)-Seite auf beiden Seiten. Drittens: Teile durch den Faktor vor \(x\). Viertens: Mache die Probe in der ursprünglichen Gleichung.
Welchen \(x\)-Term du abziehst, ist deine Wahl, aber die Rechnung wird verschieden lang. Zieht man den kleineren \(x\)-Term ab, bleibt der Faktor vor \(x\) positiv. Beim Beispiel zieht man \(3x\) von \(6x\) ab und erhält \(3x\). Zieht man das größere \(6x\) ab, entsteht \(-3x\) auf der anderen Seite, und man teilt durch eine negative Zahl. Beide Wege geben dasselbe Ergebnis, der erste ist kürzer, weil keine Minuszeichen vor \(x\) entstehen.
Wenn das größere x rechts steht
Bei \(2x+9=5x-3\) steht das größere \(x\) rechts. Du kannst \(2x\) abziehen: \(9=3x-3\). Dann \(+3\) gibt \(12=3x\), und \(\div 3\) gibt \(x=4\). Die Seiten sind vertauscht, das \(x\) steht rechts, und das ist erlaubt. Am Ende kannst du \(4=x\) zu \(x=4\) vertauschen.
Beide Seiten gleich behandeln
Der häufigste Fehler ist, den \(x\)-Term nur auf einer Seite abzuziehen. Aus \(6x+5=3x+14\) wird dann \(3x+5=3x+14\), und das ist eine andere Gleichung. Jeder Schritt gilt für die ganze Gleichung, auch wenn eine Seite kürzer aussieht.
Wenn das x wegfällt
Fallen beim Sammeln beide \(x\)-Terme weg, bleibt eine Aussage ohne \(x\), etwa \(5=7\) oder \(3=3\). Was das bedeutet, zeigen die beiden letzten Karten dieser Reihe.