Logarithmus
Voraussetzung: Rationaler Exponent
Der Logarithmus kehrt das Potenzieren um. Zu einer Basis \(b\) und einer Zahl \(a\) fragt er: Mit welcher Zahl muss ich \(b\) potenzieren, um \(a\) zu erhalten? Du brauchst ihn bei Wachstum und Zerfall, bei Exponentialgleichungen und bei Elastizitäten. Voraussetzung sind Potenzen und Wurzeln aus den Karten davor.
Die Definition lautet: Für \(b>0\), \(b\neq 1\) und \(a>0\) ist \(\log_b(a)=x\) genau dann, wenn \(b^x=a\) gilt. Der Logarithmus ist also ein Exponent. \(b\) heißt Basis, \(a\) Argument.
\[ \log_b(a)=x\quad\Longleftrightarrow\quad b^x=a. \]
Auch negative und gebrochene Logarithmen
Die Definition gilt auch, wenn kein Produkt aus gleichen Faktoren mehr dasteht. Es ist \(2^{-1}=\frac{1}{2}\), also ist \(\log_2\left(\frac{1}{2}\right)=-1\). Ein Argument kleiner als \(1\) hat bei einer Basis größer als \(1\) einen negativen Logarithmus. Und es ist \(2^{1/2}=\sqrt{2}\), also \(\log_2(\sqrt{2})=\frac{1}{2}\). Ein Logarithmus kann also ein Bruch sein.
Zwei Werte, die du immer weißt
Für jede Basis \(b\) gilt \(\log_b(1)=0\), denn \(b^0=1\). Und es gilt \(\log_b(b)=1\), denn \(b^1=b\). Diese beiden Werte brauchst du in jeder Klausur. Die Zahl, die man nicht logarithmieren kann, ist die Null und jede negative Zahl, denn \(b^x\) wird nie null oder negativ.
Der Logarithmus kehrt die Potenz um
Es gilt \(b^{\log_b(a)}=a\) und \(\log_b(b^x)=x\). Du kannst dir merken: Zuerst potenzieren, dann logarithmieren, bringt dich zurück, und umgekehrt. Das nutzt du später beim Lösen von Gleichungen mit Exponenten.