Bereich und Optimum bestimmen
Voraussetzung: Eckpunkt
In der Klausur bekommst du den erlaubten Bereich oft nicht fertig gezeichnet. Du bestimmst ihn aus den Nebenbedingungen, findest seine Ecken und das Optimum, und zum Schluss wird gefragt, was sich ändert, wenn die Zielfunktion eine andere wird. Beim Eckpunkt hast du das mit zwei Nebenbedingungen geübt. Hier kommt eine dritte dazu, und damit die Frage, welche Schnittpunkte wirklich Ecken sind. Voraussetzung ist der Eckpunkt.
Gehe in dieser Reihenfolge vor.
- Zeichne jede Nebenbedingung als Gerade. Welche Seite erlaubt ist, entscheidest du mit dem Ursprung: Setzt du \(x_1=0\) und \(x_2=0\) ein und die Ungleichung stimmt, liegt der erlaubte Bereich auf der Seite des Ursprungs. Liegt der Ursprung selbst auf der Geraden (rechte Seite \(0\)), taugt er nicht als Testpunkt, und du nimmst einen anderen Punkt, etwa \((1,0)\).
- Der Bereich ist der Teil, der alle Nebenbedingungen und \(x_1,x_2\ge 0\) zugleich erfüllt. Er ist ein Vieleck.
- Die Ecken sind die Achsenpunkte und die Schnittpunkte benachbarter Geraden. Ein Schnittpunkt zählt nur, wenn er auch die übrigen Nebenbedingungen erfüllt. Das prüfst du durch Einsetzen.
- Berechne \(Z\) an jeder Ecke. Beim Maximum ist der größte Wert das Optimum.
Bei drei Nebenbedingungen schneiden sich je zwei Geraden, aber nicht jeder Schnittpunkt liegt im Bereich. Ein Schnittpunkt außerhalb verletzt die dritte Nebenbedingung. Er ist keine Ecke, und sein \(Z\)-Wert darf nicht in den Vergleich eingehen, obwohl er oft größer ist als alle echten. Eine Nebenbedingung kann auch ganz überflüssig sein: Alle Ecken erfüllen sie schon, die Gerade berührt den Bereich nicht und ändert ihn nicht.
Der Ursprung erfüllt alle drei Nebenbedingungen, der Bereich liegt also auf seiner Seite. Die Ecken findest du so.
- Achsenpunkte: II schneidet die \(x_1\)-Achse in \((8,0)\), noch vor I mit \((10,0)\). III schneidet die \(x_2\)-Achse in \((0,7)\).
- I und II: Aus der Differenz folgt \(x_1=6\), dann \(x_2=4\). Das ist die Ecke \((6,4)\).
- I und III: Es ist \(x_2=7\), dann \(x_1=3\). Das ist die Ecke \((3,7)\).
- II und III: Es ist \(x_2=7\), dann \(x_1=4{,}5\). Der Punkt \((4{,}5,7)\) verletzt I, denn \(4{,}5+7=11{,}5\) ist größer als \(10\). Er ist keine Ecke.
Die Werte von \(Z\) in den Ecken \((0,0)\), \((8,0)\), \((6,4)\), \((3,7)\) und \((0,7)\) sind \(0\), \(32\), \(36\), \(33\) und \(21\). Das Maximum \(36\) liegt in der Ecke \((6,4)\).
Geänderte Zielfunktion
Die Nebenbedingungen und damit der Bereich bleiben, nur die Höhenlinien drehen sich. Für \(Z=2x_1+5x_2\) sind die Werte an den Ecken \(0\), \(16\), \(32\), \(41\) und \(35\). Das Optimum liegt jetzt in \((3,7)\) mit \(Z=41\). Du rechnest \(Z\) an den Ecken also neu und vergleichst. Bei einer kleinen Änderung der Koeffizienten wandert das Optimum zur Nachbarecke, bei einer großen kann es weiter springen.
Ein zweites Beispiel, bis wohin das Optimum bleibt
Gefragt ist oft, wie weit sich ein Koeffizient ändern darf, ohne dass das Optimum die Ecke wechselt. Im Beispiel liegt das Optimum für \(Z=c_1x_1+3x_2\) in \((6,4)\), der Ecke von I und II. Die Höhenlinie dreht sich um diese Ecke, und sie berührt den Bereich dort, solange ihre Steigung zwischen der von I und der von II liegt.
- Parallel zu I ist die Höhenlinie, wenn \(c_1:3=1:1\) gilt, also bei \(c_1=3\).
- Parallel zu II ist sie, wenn \(c_1:3=2:1\) gilt, also bei \(c_1=6\).
- Für \(3\le c_1\le 6\) bleibt \((6,4)\) optimal. Bei \(c_1=6\) sind \((6,4)\) und \((8,0)\) gleich gut, in beiden ist \(Z=48\). Wird \(c_1\) größer als \(6\), wechselt das Optimum nach \((8,0)\).