Modell aufstellen
Voraussetzung: Normalform (kanonische Form)
In der Klausur steht ein Optimierungsproblem als Text. Bevor du rechnen kannst, musst du daraus ein Modell machen: eine Zielfunktion, Nebenbedingungen und die Nicht-Negativität. Das ist der Schritt, bei dem am meisten schiefgeht, weil der Text nichts vorgibt. Voraussetzung sind die Zielfunktion und die kanonische Form.
Gehe in dieser Reihenfolge vor.
- Entscheidungsvariablen: Was kann der Betrieb wählen? Meist sind es Stückzahlen, \(x_1\) für das erste Produkt und \(x_2\) für das zweite.
- Zielfunktion: Was soll möglichst groß oder klein werden? Der Koeffizient jeder Variablen ist der Beitrag je Stück, zum Beispiel der Gewinn.
- Nebenbedingungen: Für jede knappe Ressource gilt Verbrauch \(\le\) Kapazität. Links steht der Verbrauch je Stück mal Stückzahl, für jedes Produkt, summiert. Rechts steht die Menge, die vorhanden ist.
- Nicht-Negativität: \(x_1,x_2\ge 0\).
Beim Aufstellen der Nebenbedingungen entsteht eine Tabelle: eine Zeile je Ressource, eine Spalte je Produkt. Der Eintrag in Zeile \(i\) und Spalte \(j\) ist der Verbrauch der Ressource \(i\) je Stück des Produkts \(j\). Das ist genau die Koeffizientenmatrix der Nebenbedingungen. Achte darauf, dass alle Zahlen einer Zeile in derselben Einheit stehen. Steht die Kapazität in Tagen und der Verbrauch in Stunden, rechnest du die Kapazität in Stunden um.
Verhältnisse und Mindestmengen
Manche Bedingungen stehen nicht als Zahl da. „Es werden mindestens so viele Schalen wie Vasen hergestellt“ heißt \(x_2\ge x_1\). Du bringst sie auf die Form \(\le\): \(x_1-x_2\le 0\). „Höchstens doppelt so viele Schalen wie Vasen“ heißt \(x_2\le 2x_1\), also \(-2x_1+x_2\le 0\). Die rechte Seite ist \(0\), die Koeffizienten stehen links, und das Vorzeichen eines Glieds wechselt, wenn es die Seite wechselt.
Ein zweites Beispiel, Einheiten umrechnen
Der Brennofen läuft an \(5\) Tagen zu je \(6\) Stunden, und die Brennzeit je Stück ist in Minuten angegeben: \(180\) Minuten für eine Vase, \(120\) Minuten für eine Schale. Die Kapazität in Minuten ist \(5\cdot 6\cdot 60=1800\), und die Nebenbedingung lautet \(180x_1+120x_2\le 1800\). In Stunden gerechnet wäre es \(3x_1+2x_2\le 30\). Beide Formen sind richtig, solange eine Einheit in der ganzen Zeile gilt.