Bedarf und Kosten mit Matrizen
Voraussetzung: Produkt von Matrizen
In Aufgaben zur Produktion steht der Rohstoffbedarf in einer Tabelle. Aus dieser Tabelle machst du eine Matrix und rechnest mit dem Produkt, das du schon kennst. Das Ergebnis ist der Bedarf, die Kosten oder, bei mehreren Stufen, der Bedarf über alle Stufen. Die Klausur fragt das gern, weil die Rechnung einfach ist und der Fehler fast immer im Lesen der Tabelle steckt. Voraussetzung ist das Produkt von Matrizen.
Gehe so vor.
- Lege fest, was die Zeilen und was die Spalten sind. Hier stehen die Rohstoffe in den Zeilen und die Produkte in den Spalten. Der Eintrag \(a_{ij}\) ist die Menge von Rohstoff \(i\), die ein Stück von Produkt \(j\) braucht.
- Die gefertigten Stückzahlen stehen in einem Spaltenvektor \(x\). Der Bedarf an allen Rohstoffen ist \(A\cdot x\), ein Vektor mit einem Eintrag je Rohstoff.
- Die Preise je Einheit der Rohstoffe stehen in einem Zeilenvektor \(p\). Die gesamten Rohstoffkosten sind \(p\cdot A\cdot x\), eine einzelne Zahl.
Warum steht \(A\) links von \(x\)? Das Format entscheidet. \(A\) hat \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten, \(x\) hat \(n\) Zeilen. Die Spaltenzahl links stimmt mit der Zeilenzahl rechts überein, also ist \(A\cdot x\) erklärt, und das Ergebnis hat \(m\) Einträge, einen je Rohstoff. Das Produkt \(x\cdot A\) wäre nicht erklärt. Auch die Einheiten stimmen: Bedarf je Stück mal Stück ergibt eine Menge, und Menge mal Preis je Einheit ergibt Kosten. Beim Rechnen nimmst du jede Zeile von \(A\), multiplizierst sie paarweise mit den Stückzahlen und addierst.
Zwei Stufen, Rohstoffe über Zwischenprodukte
Oft werden aus Rohstoffen erst Zwischenprodukte und daraus Endprodukte. Die Matrix \(R\) gibt den Rohstoffbedarf je Stück Zwischenprodukt an (Zeilen: Rohstoffe, Spalten: Zwischenprodukte). Die Matrix \(Z\) gibt den Bedarf an Zwischenprodukten je Stück Endprodukt an (Zeilen: Zwischenprodukte, Spalten: Endprodukte). Die Endproduktmengen stehen im Vektor \(y\). Zuerst rechnest du \(Z\cdot y\), die Mengen der Zwischenprodukte. Dann rechnest du \(R\cdot(Z\cdot y)\), den Bedarf an Rohstoffen. Die Matrizen stehen in derselben Reihenfolge wie die Stufen, von den Rohstoffen links bis zu den Endprodukten rechts.
Ein zweites Beispiel, zwei Stufen mit Zahlen
Es sei \(R=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\), \(Z=\begin{pmatrix}3&0\\1&2\end{pmatrix}\) und \(y=\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}\). Dann ist \(Z\cdot y=\begin{pmatrix}3\cdot 4+0\cdot 5\\1\cdot 4+2\cdot 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\14\end{pmatrix}\). Der Rohstoffbedarf ist \(R\cdot\begin{pmatrix}12\\14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot 12+1\cdot 14\\1\cdot 12+3\cdot 14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}38\\54\end{pmatrix}\). Du kannst auch zuerst \(R\cdot Z=\begin{pmatrix}7&2\\6&6\end{pmatrix}\) bilden, den Rohstoffbedarf je Stück Endprodukt, und dann mit \(y\) multiplizieren: \(7\cdot 4+2\cdot 5=38\) und \(6\cdot 4+6\cdot 5=54\). Beide Wege führen zum selben Ergebnis, denn bei einem Produkt aus drei Matrizen darfst du die Klammern setzen, wie du willst, solange die Reihenfolge der Faktoren bleibt.