Eintrag einer Matrix
Eine Matrix ordnet Zahlen, die zusammengehören, in einer Tabelle aus Zeilen und Spalten. Sie ist der Baustein für alles, was in diesem Teil des Kurses folgt: das Gleichungssystem in Matrixform, die Gauß-Schritte, die Inverse und die Produktionsrechnung. Damit du die Rechenregeln dort lesen kannst, brauchst du zuerst die Schreibweise der Einträge. Voraussetzung ist nur, dass du eine Tabelle lesen kannst.
Eine \(m\times n\)-Matrix besteht aus \(m\cdot n\) Zahlen, die in \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten stehen. Allgemein schreibt man
\[ A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix}. \]
Jede Zahl in der Tabelle heißt Eintrag oder Element der Matrix. Der Eintrag \(a_{ij}\) steht in der Zeile mit der Nummer \(i\) und in der Spalte mit der Nummer \(j\). Man nennt \(i\) den Zeilen-Index und \(j\) den Spalten-Index. Dieselbe Reihenfolge gilt für die Größe: Eine \(m\times n\)-Matrix hat zuerst \(m\) Zeilen und dann \(n\) Spalten.
Merke dir „Zeile zuerst, Spalte danach“, wie bei einem Hochhaus: Du suchst erst das Stockwerk und dann die Tür auf dem Flur. Zeilen laufen waagerecht, Spalten laufen senkrecht. Die Anzahl der Einträge ist das Produkt \(m\cdot n\), denn jede der \(m\) Zeilen hat \(n\) Einträge.
Quadratische Matrizen und die Hauptdiagonale
Eine Matrix mit gleich vielen Zeilen und Spalten heißt quadratisch. Bei ihr liegen die Einträge \(a_{11},a_{22},a_{33},\dots\) auf einer Linie von links oben nach rechts unten. Das ist die Hauptdiagonale. Auf ihr stehen die Einträge, bei denen Zeilen- und Spalten-Index gleich sind. Von der Hauptdiagonale hängen später die Determinante, die Dreiecksform beim Gauß-Verfahren und die Einheitsmatrix ab.
Ein zweites Beispiel, eine Tabelle als Matrix
Ein Betrieb notiert, wie viele Stück er in zwei Filialen von drei Produkten verkauft hat: Filiale 1 verkauft \(12,\ 5,\ 8\) Stück, Filiale 2 verkauft \(9,\ 14,\ 3\) Stück. Als Matrix \(V\) mit den Filialen als Zeilen und den Produkten als Spalten ist das
\[ V=\begin{pmatrix}12&5&8\\9&14&3\end{pmatrix}. \]
Der Eintrag \(v_{23}=3\) sagt: Filiale 2 hat vom dritten Produkt \(3\) Stück verkauft. Die erste Zahl im Index nennt die Filiale, die zweite das Produkt. Die Bedeutung der Zeilen und Spalten legt die Aufgabe fest, die Schreibweise \(v_{ij}\) bleibt dieselbe.