Welches Produkt ist möglich
Voraussetzung: Produkt von Matrizen
Zwei Matrizen lassen sich nicht immer multiplizieren. Bevor du rechnest, prüfst du am Format, ob das Produkt überhaupt gebildet werden kann und wie groß das Ergebnis wird. Das brauchst du bei jeder Anwendung mit Matrizen: Welche der Schreibweisen \(A\cdot x\) und \(x\cdot A\) passt zu den Zahlen, und was kommt heraus, eine Zahl, ein Vektor oder eine Matrix? Voraussetzung ist das Produkt von Matrizen als Zeile mal Spalte.
Das Format einer Matrix ist \(m\times n\): \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten. Der Eintrag in Zeile \(i\) und Spalte \(j\) des Produkts entsteht als Skalarprodukt aus Zeile \(i\) des ersten und Spalte \(j\) des zweiten Faktors. Dafür müssen beide gleich viele Einträge haben. Daraus folgt die Regel:
\[ (m\times n)\cdot(n\times p)=(m\times p). \]
- Das Produkt \(A\cdot B\) lässt sich nur bilden, wenn \(A\) so viele Spalten hat, wie \(B\) Zeilen hat. Die beiden inneren Zahlen müssen gleich sein.
- Das Ergebnis hat so viele Zeilen wie \(A\) und so viele Spalten wie \(B\). Die inneren Zahlen verschwinden.
- Dasselbe Format zweier Matrizen reicht nur dann, wenn sie quadratisch sind.
Das Produkt \(A\cdot B\) kann existieren, ohne dass \(B\cdot A\) existiert, und selbst wenn beide existieren, sind sie meist verschieden. Mit \(A\) vom Format \(m\times n\) und \(B\) vom Format \(n\times m\) gibt \(A\cdot B\) eine \(m\times m\)-Matrix und \(B\cdot A\) eine \(n\times n\)-Matrix. Die Reihenfolge der Faktoren darfst du darum nicht vertauschen.
Die Matrix \(A\) ist \(2\times 3\), die Matrix \(B\) ist \(3\times 2\). Bei \(A\cdot B\) sind die inneren Zahlen 3 und 3, das Produkt existiert und ist \(2\times 2\). Bei \(B\cdot A\) sind die inneren Zahlen 2 und 2, das Produkt existiert auch und ist \(3\times 3\). Die Rechnung für \(A\cdot B\): Zeile 1 mal Spalte 1 ist \(1\cdot 1+0\cdot 0+2\cdot 4=9\), Zeile 1 mal Spalte 2 ist \(1\cdot 2+0\cdot 1+2\cdot 0=2\), Zeile 2 mal Spalte 1 ist \(3\cdot 1+1\cdot 0+1\cdot 4=7\), Zeile 2 mal Spalte 2 ist \(3\cdot 2+1\cdot 1+1\cdot 0=7\). Also \(A\cdot B=\begin{pmatrix}9&2\\7&7\end{pmatrix}\). Das Produkt \(B\cdot A\) hat 9 Einträge und sieht ganz anders aus.
Zeilenvektor und Spaltenvektor
Ein Zeilenvektor hat das Format \(1\times n\), ein Spaltenvektor \(n\times 1\). Steht der Zeilenvektor links, ist das Produkt \((1\times n)\cdot(n\times 1)=1\times 1\), also eine einzige Zahl, das Skalarprodukt. Steht der Spaltenvektor links, ist es \((n\times 1)\cdot(1\times n)=n\times n\), eine ganze Matrix. Für \(z=(2\ \ 1)\) und \(s=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\) ist \(z\cdot s=2\cdot 3+1\cdot 4=10\), dagegen \(s\cdot z=\begin{pmatrix}6&3\\8&4\end{pmatrix}\).
Ketten von Matrizen
Bei drei Faktoren prüfst du Paar für Paar. Für \(A\) vom Format \(2\times 3\), \(B\) vom Format \(3\times 4\) und \(C\) vom Format \(4\times 5\) ist \(A\cdot B\) vom Format \(2\times 4\), und mit \(C\) vom Format \(2\times 5\). Die Zeilen des Ergebnisses kommen vom ersten Faktor, die Spalten vom letzten, alle inneren Zahlen fallen weg.