Gauß-Schritt
Voraussetzung: Gleichungssystem als Matrix
In der Schule löst man ein Gleichungssystem oft durch Umstellen und Einsetzen, ohne Plan. Bei zwei Gleichungen klappt das gut. Bei drei oder mehr Gleichungen gibt es dabei keine Garantie, dass man nach einer festen Zahl von Schritten fertig ist. Das Gauß-Verfahren ist ein fester Plan, der immer zum Ziel führt. Es arbeitet mit dem Tableau aus der letzten Karte und mit drei erlaubten Umformungen, den Gauß-Schritten. Voraussetzung ist, dass du ein Gleichungssystem als Tableau schreiben kannst.
Eine Zeile des Tableaus ist eine ganze Gleichung. Drei Umformungen verändern die Lösungsmenge nicht:
- Eine Zeile mit einer Zahl \(\lambda\neq 0\) multiplizieren.
- Das \(\lambda\)-Fache einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren.
- Zwei Zeilen vertauschen.
Die Umformung gilt immer für die ganze Zeile, auch für die Zahl rechts vom Strich. Sie entspricht dem, was du aus der Schule kennst: das Multiplizieren einer Gleichung mit einer Zahl, das Addieren oder Subtrahieren zweier Gleichungen und das Vertauschen der Reihenfolge.
Warum rechnet die rechte Seite mit? Eine Zeile steht für eine Gleichung, etwa \(3x+5y=11\). Multiplizierst du nur die linke Seite mit \(2\), erhältst du \(6x+10y=11\), und das ist eine andere Gleichung. Beide Seiten müssen dasselbe erfahren. Mit \(\lambda=0\) wäre alles gleich \(0\), die Gleichung enthielte keine Information mehr und die Umformung ließe sich nicht rückgängig machen. Deshalb ist \(\lambda=0\) ausgeschlossen.
Das Ziel ist eine Form, aus der du die Lösung ablesen kannst. In der oberen Dreiecksform stehen unter der Hauptdiagonale nur Nullen. In der Einheitsform steht links die Einheitsmatrix. Dann liest du aus jeder Zeile \(x_i=b_i\) ab. Um dorthin zu kommen, arbeitest du spaltenweise von links nach rechts. In jeder Spalte machst du die Zahl auf der Diagonale zu \(1\), indem du die Zeile durch sie teilst, und nullst darunter die übrigen Zahlen mit dem zweiten Gauß-Schritt. Von links nach rechts zu arbeiten, hat einen Grund: Die Nullen aus der ersten Spalte gehen in der zweiten Spalte nicht verloren.
Zeile für Zeile von unten lösen
Steht das Tableau in oberer Dreiecksform, löst du von unten nach oben. Beispiel: \(\left(\begin{array}{ccc|c}1&3&2&11\\0&1&-1&-1\\0&0&1&2\end{array}\right)\). Die letzte Zeile sagt \(z=2\). Die mittlere Zeile sagt \(y-z=-1\), mit \(z=2\) also \(y=1\). Die erste Zeile sagt \(x+3y+2z=11\), also \(x+3+4=11\) und \(x=4\). Das Einsetzen von unten nach oben ist die Kurzform der letzten Umformungen zur Einheitsform.
Ein zweites Beispiel, Zeilen tauschen
Steht links oben eine \(0\), kannst du sie nicht zum Nullen benutzen. Dann tauschst du die Zeile mit einer Zeile darunter, in der an dieser Stelle keine \(0\) steht. Aus \(\left(\begin{array}{cc|c}0&2&6\\3&1&7\end{array}\right)\) wird mit \(\text{I}\leftrightarrow\text{II}\) das Tableau \(\left(\begin{array}{cc|c}3&1&7\\0&2&6\end{array}\right)\). Es ist schon in Dreiecksform: Aus der zweiten Zeile folgt \(y=3\), aus der ersten \(3x+3=7\), also \(x=\frac{4}{3}\).