Inverse
Voraussetzung: Ganzer Gauß-Lauf
Bei Zahlen löst du \(c\cdot x=5\), indem du durch \(c\) teilst. Bei einem Gleichungssystem \(A\cdot x=y\) geht das nicht, denn eine Division durch eine Matrix ist nicht erklärt. Stattdessen gibt es die Inverse: eine Matrix, die das Multiplizieren mit \(A\) rückgängig macht. Mit ihr rechnest du die Lösung eines eindeutig lösbaren Systems in einem Zug aus und kannst Matrixgleichungen umstellen. Voraussetzung sind das Matrixprodukt, die Gauß-Schritte und die Einheitsmatrix, die auf der Hauptdiagonale Einsen und sonst Nullen hat.
Eine \(n\times n\)-Matrix \(B\) heißt Inverse von \(A\), wenn
\[ A\cdot B=B\cdot A=E_n \]
gilt, mit der Einheitsmatrix \(E_n\). Man schreibt \(B=A^{-1}\). Hat \(A\) eine Inverse, heißt \(A\) invertierbar oder regulär, sonst singulär. Anders als bei Zahlen gibt es nicht zu jeder Matrix ungleich \(0\) eine Inverse.
Wozu die Inverse nützt, zeigt die Umformung. Aus \(A\cdot x=y\) wird durch Multiplizieren von links mit \(A^{-1}\) Schritt für Schritt
\[ \begin{aligned} A^{-1}\cdot(A\cdot x)&=A^{-1}\cdot y\\ (A^{-1}\cdot A)\cdot x&=A^{-1}\cdot y\\ E\cdot x&=A^{-1}\cdot y\\ x&=A^{-1}\cdot y. \end{aligned} \]
Die Reihenfolge zählt: \(A^{-1}\) muss auf beiden Seiten links stehen, denn \(A\) stand links neben \(x\).
Ob eine Inverse existiert, sagt die Determinante: \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn \(\det A\neq 0\) ist. Bei \(\det A=0\) sind die Zeilen von \(A\) voneinander abhängig, etwa eine Zeile ein Vielfaches der anderen, und das Gleichungssystem hat nicht genau eine Lösung. Für eine \(2\times 2\)-Matrix gilt
\[ \begin{aligned} A&=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\quad\text{hat die Inverse}\\ A^{-1}&=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. \end{aligned} \]
Die Inverse mit dem Gauß-Verfahren
Für größere Matrizen schreibst du \(A\) und die Einheitsmatrix nebeneinander in ein Tableau und führst Gauß-Schritte aus, bis links die Einheitsmatrix steht. Alle Schritte wirken auf die ganzen Zeilen, auch rechts. Dort steht am Ende die Inverse. Beispiel: \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}\). Aus \(\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\3&7&0&1\end{array}\right)\) wird mit \(\text{II}-3\cdot\text{I}\) das Tableau \(\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&1&-3&1\end{array}\right)\), und mit \(\text{I}-2\cdot\text{II}\) das Tableau \(\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&7&-2\\0&1&-3&1\end{array}\right)\). Also ist \(A^{-1}=\begin{pmatrix}7&-2\\-3&1\end{pmatrix}\). Bleibt links eine Nullzeile, gibt es keine Inverse.
Ein zweites Beispiel, eine Matrix ohne Inverse
Die Matrix \(B=\begin{pmatrix}2&6\\1&3\end{pmatrix}\) hat \(\det B=2\cdot 3-6\cdot 1=0\). Die erste Zeile ist das Doppelte der zweiten. Das Gleichungssystem \(B\cdot x=y\) hat dann entweder keine oder unendlich viele Lösungen, und es gibt keine Inverse, mit der du das System in einem Zug lösen könntest. Das Gauß-Verfahren zeigt es: \(\text{I}-2\cdot\text{II}\) macht aus der ersten Zeile eine Nullzeile.