Gleichungssystem als Matrix
Voraussetzung: Eintrag einer Matrix
Ein lineares Gleichungssystem ist eine Sammlung von Gleichungen, in denen jede Unbekannte nur mit dem Exponenten \(1\) vorkommt. Schreibst du es als Matrix, wird aus dem Durcheinander von Buchstaben eine Tabelle von Zahlen. Mit dieser Tabelle arbeitet das Gauß-Verfahren, das du in den nächsten Karten lernst. Voraussetzung ist, dass du Einträge \(a_{ij}\) lesen kannst und weißt, wie ein Produkt aus Zeile und Spalte entsteht.
Die Idee: Die Unbekannten stehen immer in derselben Reihenfolge, etwa \(x,\ y,\ z\). Dann genügt es, nur die Zahlen aufzuschreiben. Die Koeffizienten, also die Zahlen vor den Unbekannten, bilden die Koeffizientenmatrix \(A\). Jede Zeile gehört zu einer Gleichung, jede Spalte zu einer Unbekannten. Die Zahlen rechts vom Gleichheitszeichen bilden den Zielvektor \(b\).
Aus dem System
\[ \begin{aligned} \text{(I)}\quad 3x-2y+z&=4\\ \text{(II)}\quad 2y-5z&=1\\ \text{(III)}\quad x+y&=6 \end{aligned} \]
wird die Koeffizientenmatrix und der Zielvektor
\[ A=\begin{pmatrix}3&-2&1\\0&2&-5\\1&1&0\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}4\\1\\6\end{pmatrix}, \]
und die Matrixgleichung
\[ A\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=b. \]
In (II) fehlt \(x\), also steht in der Spalte von \(x\) eine \(0\). In (III) fehlt \(z\), dort steht ebenfalls eine \(0\). Das Vorzeichen vor einer Zahl gehört zum Koeffizienten: aus \(-2y\) wird der Eintrag \(-2\), aus \(-5z\) der Eintrag \(-5\).
Dass die Matrixgleichung dasselbe sagt wie das System, folgt aus dem Produkt: Die erste Zeile von \(A\) mal die Spalte \((x,y,z)\) ergibt \(3x-2y+1\cdot z\), das muss \(4\) sein. Das ist genau die Gleichung (I). Dasselbe gilt für jede Zeile. Die Tripel \((x,y,z)\), die das System lösen, sind deshalb genau die, die \(A\cdot x=b\) lösen.
Alle Zahlen zusammen schreibt man oft als Tableau, mit einem Strich vor der rechten Seite:
\[ \left(\begin{array}{ccc|c}3&-2&1&4\\0&2&-5&1\\1&1&0&6\end{array}\right). \]
Zeilen und Spalten lesen
Eine Zeile des Tableaus ist eine ganze Gleichung. Eine Spalte gehört zu einer Unbekannten und sammelt ihre Koeffizienten aus allen Gleichungen. In der letzten Spalte steht, was rechts vom Gleichheitszeichen steht. Diese Lesart brauchst du bei den Gauß-Schritten: Dort rechnest du mit ganzen Zeilen, und die rechte Seite rechnet immer mit.
Ein zweites Beispiel, Rohstoffe und Produkte
Ein Betrieb stellt zwei Produkte \(P_1\) und \(P_2\) aus zwei Rohstoffen her. Für ein Stück von \(P_1\) braucht er \(2\) Einheiten von Rohstoff 1 und \(1\) Einheit von Rohstoff 2, für ein Stück von \(P_2\) braucht er \(3\) und \(4\). Vorhanden sind \(100\) und \(120\) Einheiten. Mit \(x\) Stück von \(P_1\) und \(y\) Stück von \(P_2\) sind beide Rohstoffe aufgebraucht, wenn
\[ \begin{aligned} 2x+3y&=100\\ x+4y&=120 \end{aligned} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}100\\120\end{pmatrix}. \]
Die Zeilen von \(A\) gehören zu den Rohstoffen, die Spalten zu den Produkten. Die Zahlen in \(A\) sind der Verbrauch je Stück.