Produkt von Matrizen
Voraussetzung: Eintrag einer Matrix
Das Produkt zweier Matrizen ist die wichtigste Rechenart dieses Teils. Mit ihm schreibst du ein ganzes Gleichungssystem als \(A\cdot x=b\), rechnest Absatz mal Preis zu einem Umsatz je Filiale zusammen und prüfst später, ob eine Matrix wirklich die Inverse einer anderen ist. Es ist nicht Stelle für Stelle erklärt wie die Summe, sondern verrechnet ganze Zeilen mit ganzen Spalten. Voraussetzung ist, dass du Einträge \(a_{ij}\) lesen kannst und weißt, dass die Summe Stelle für Stelle rechnet.
Das Produkt \(A\cdot B\) ist nur erklärt, wenn die linke Matrix so viele Spalten hat, wie die rechte Zeilen hat. Als Merkspruch: Links muss so breit sein, wie rechts tief ist. Für eine \(m\times n\)-Matrix \(A\) und eine \(n\times k\)-Matrix \(B\) ist \(A\cdot B\) dann eine \(m\times k\)-Matrix. Die innere Zahl \(n\) fällt weg, die äußeren Zahlen \(m\) und \(k\) bleiben:
\[ (m\times n)\cdot(n\times k)=(m\times k). \]
Der Eintrag in Zeile \(i\) und Spalte \(j\) des Produkts entsteht aus der Zeile \(i\) von \(A\) und der Spalte \(j\) von \(B\). Du multiplizierst die beiden der Reihe nach paarweise und addierst alle Produkte:
\[ \begin{aligned} (A\cdot B)_{ij}&=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{in}b_{nj}\\ &=\sum_{g=1}^{n}a_{ig}\,b_{gj}. \end{aligned} \]
Dass Zeile und Spalte gleich viele Einträge haben, ist genau die Bedingung vom Anfang: Die Zeile von \(A\) hat \(n\) Einträge, die Spalte von \(B\) hat \(n\) Einträge. Ohne diese Bedingung gäbe es Zahlen ohne Partner.
\[ C\cdot D=\begin{pmatrix}5&15\\10&10\end{pmatrix}. \]
Vertauschst du die Faktoren, steht oben links in \(D\cdot C\) die Zahl \(2\cdot 1+0\cdot 4=2\) und unten links \(1\cdot 1+5\cdot 4=21\). Das Produkt hängt von der Reihenfolge ab: Im Allgemeinen ist \(A\cdot B\neq B\cdot A\). Bei Zahlen ist das anders, bei Matrizen darfst du die Faktoren also nie vertauschen.
Wenn die Größen nicht passen
Hat \(A\) drei Spalten und \(B\) nur zwei Zeilen, bleibt in der Zeile von \(A\) ein Eintrag ohne Partner in der Spalte von \(B\). Dann ist \(A\cdot B\) nicht erklärt, und es hilft kein Auffüllen. Prüfe die Größen immer, bevor du rechnest: Schreibe \((m\times n)\cdot(n\times k)\) hin und kontrolliere, dass die beiden inneren Zahlen übereinstimmen. Auch \(B\cdot A\) hat eine eigene Bedingung und ist oft nicht erklärt, wenn \(A\cdot B\) es ist.
Ein zweites Beispiel, Umsatz je Filiale
Eine Matrix \(V\) enthält, wie viele Stück zwei Filialen von drei Produkten verkaufen, und ein Vektor \(p\) die Preise der drei Produkte in Euro:
\[ V=\begin{pmatrix}12&5&8\\9&14&3\end{pmatrix},\qquad p=\begin{pmatrix}4\\6\\5\end{pmatrix}. \]
\(V\) ist eine \(2\times 3\)-Matrix und \(p\) eine \(3\times 1\)-Matrix, die inneren Zahlen \(3\) stimmen überein. Das Produkt \(V\cdot p\) ist eine \(2\times 1\)-Matrix mit dem Umsatz je Filiale: Filiale 1 erzielt \(12\cdot 4+5\cdot 6+8\cdot 5=118\) Euro, Filiale 2 erzielt \(9\cdot 4+14\cdot 6+3\cdot 5=135\) Euro. Jeder Eintrag ist eine ganze Zeile von \(V\) mal die Spalte der Preise, so wie es die Definition verlangt.