Summe von Matrizen
Voraussetzung: Eintrag einer Matrix
Matrizen kannst du addieren, subtrahieren und mit einer Zahl vervielfachen, ohne etwas Neues lernen zu müssen: Alles geschieht Stelle für Stelle. Das brauchst du später, wenn Gauß-Schritte ganze Zeilen verändern und wenn zwei Tabellen, etwa die Verkaufszahlen zweier Wochen, zu einer Gesamttabelle werden. Voraussetzung ist, dass du Einträge \(a_{ij}\) lesen kannst.
Zwei Matrizen \(A=(a_{ij})\) und \(B=(b_{ij})\) derselben Größe, beide \(m\times n\), werden Eintrag für Eintrag addiert und subtrahiert:
\[ A\pm B=\bigl(a_{ij}\pm b_{ij}\bigr). \]
An der Stelle in Zeile \(i\) und Spalte \(j\) der Summe steht also die Summe der beiden Einträge, die in \(A\) und \(B\) an dieser Stelle stehen.
Die Voraussetzung ist die gleiche Größe. Hat \(A\) eine Spalte mehr als \(B\), so fehlt zu den Einträgen dieser Spalte der Partner, mit dem man addieren könnte. Für Matrizen verschiedener Größe ist die Summe darum nicht erklärt, und es wird nichts aufgefüllt oder weggelassen.
Ein Skalar, also eine einzelne Zahl \(c\), wird mit der Matrix vervielfacht, indem jeder Eintrag mit \(c\) multipliziert wird:
\[ c\cdot A=\bigl(c\cdot a_{ij}\bigr). \]
\[ C+D=\begin{pmatrix}1+4&8+3\\5+6&2+9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&11\\11&11\end{pmatrix}. \]
Die Differenz \(C-D\) rechnet jeden Eintrag von \(C\) minus den Eintrag von \(D\): oben links \(1-4=-3\), unten rechts \(2-9=-7\). Und \(2C\) verdoppelt jeden Eintrag: oben rechts \(2\cdot 8=16\). Kombiniert gilt die gewohnte Reihenfolge der Rechenarten: Für \(2C-D\) multiplizierst du zuerst und ziehst dann ab. Oben links ist das \(2\cdot 1-4=-2\).
Rechenregeln
Weil jede Stelle für sich wie eine gewöhnliche Zahl rechnet, übertragen sich die Regeln der Zahlen: \(A+B=B+A\), \((A+B)+C=A+(B+C)\) und \(c\,(A+B)=cA+cB\). Die Matrix, deren Einträge alle \(0\) sind, heißt Nullmatrix und ändert bei der Addition nichts. Anders als bei Zahlen gilt das für das Produkt von Matrizen nicht, es folgt in der nächsten Karte.
Ein zweites Beispiel, zwei Wochen zusammenfassen
In Woche 1 hat ein Betrieb in zwei Filialen von drei Produkten \(\begin{pmatrix}12&5&8\\9&14&3\end{pmatrix}\) Stück verkauft, in Woche 2 \(\begin{pmatrix}10&6&9\\7&11&5\end{pmatrix}\). Die Gesamtverkäufe beider Wochen sind die Summe der beiden Matrizen:
\[ \begin{pmatrix}22&11&17\\16&25&8\end{pmatrix}. \]
Der Eintrag in Zeile \(2\) und Spalte \(2\) sagt: Filiale 2 hat vom zweiten Produkt insgesamt \(25\) Stück verkauft. Wäre die zweite Tabelle für drei Filialen geschrieben, könntest du sie nicht Stelle für Stelle zu der ersten addieren.