Transponieren und besondere Matrizen
Voraussetzung: Eintrag einer Matrix
Beim Transponieren werden die Zeilen und die Spalten einer Matrix vertauscht. Du brauchst es, um aus einem Spaltenvektor einen Zeilenvektor zu machen (etwa den Preisvektor für ein Produkt mit dem Mengenvektor), um symmetrische Matrizen wie die Hesse-Matrix zu erkennen und für Rechenregeln bei Determinante und Inverse. Dazu kommen die Matrizen mit besonderer Form, die in diesen Regeln auftreten: quadratische, Diagonal-, Einheits-, Dreiecks- und Nullmatrix. Voraussetzung ist der Eintrag einer Matrix in Zeile \(i\) und Spalte \(j\).
Die Transponierte \(A^T\) einer \(m\times n\)-Matrix \(A\) ist die \(n\times m\)-Matrix, bei der Zeilen und Spalten vertauscht sind:
\[ (A^T)_{ij}=A_{ji}. \]
Der Eintrag in Zeile \(i\) und Spalte \(j\) von \(A^T\) steht in \(A\) in Zeile \(j\) und Spalte \(i\).
- Die erste Zeile von \(A\) wird die erste Spalte von \(A^T\), die zweite Zeile die zweite Spalte, und so weiter.
- Das Format ändert sich: Aus \(m\times n\) wird \(n\times m\). Nur bei einer quadratischen Matrix bleibt es gleich.
- Die Einträge der Hauptdiagonalen, von links oben nach rechts unten, bleiben an ihrem Platz.
- Ein Spaltenvektor wird zum Zeilenvektor und umgekehrt. Beide sind verschiedene Objekte, auch wenn sie dieselben Zahlen enthalten.
Transponiert man zweimal, kommt man zurück: \((A^T)^T=A\). Für die Rechenregeln gilt:
\[ \begin{aligned} (A+B)^T&=A^T+B^T,\\ (\lambda\cdot A)^T&=\lambda\cdot A^T,\\ (A\cdot B)^T&=B^T\cdot A^T. \end{aligned} \]
Die Reihenfolge im Produkt dreht sich um, und das ist zwingend. Hat \(A\) das Format \(m\times n\) und \(B\) das Format \(n\times p\), hat \(A\cdot B\) das Format \(m\times p\) und \((A\cdot B)^T\) das Format \(p\times m\). Es passt \(B^T\cdot A^T\) mit \((p\times n)\cdot(n\times m)\). Das Produkt \(A^T\cdot B^T\) mit \((n\times m)\cdot(p\times n)\) ist meist gar nicht definiert.
Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn \(A^T=A\) gilt. Dann stehen an Stellen, die an der Hauptdiagonalen gespiegelt liegen, gleiche Zahlen: \(a_{ij}=a_{ji}\). Ein Beispiel ist die Hesse-Matrix, denn bei ihr gilt \(f_{xy}=f_{yx}\).
Die Matrix \(A\) hat 3 Zeilen und 2 Spalten, also hat \(A^T\) 2 Zeilen und 3 Spalten. Die erste Zeile \((1,\,4)\) wird die erste Spalte, die zweite Zeile \((2,\,5)\) die zweite Spalte, die dritte Zeile \((3,\,6)\) die dritte Spalte:
\[ A^T=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}. \]
Die Zahl \(6\) stand in \(A\) in Zeile 3 und Spalte 2. In \(A^T\) steht sie in Zeile 2 und Spalte 3.
Ein zweites Beispiel, ein Produkt
Für \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\) und \(B=\begin{pmatrix}3&0\\1&2\end{pmatrix}\) ist \(A\cdot B=\begin{pmatrix}5&4\\1&2\end{pmatrix}\) und damit \((A\cdot B)^T=\begin{pmatrix}5&1\\4&2\end{pmatrix}\). Zur Probe: \(B^T\cdot A^T=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1\\4&2\end{pmatrix}\). Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis, mit \(A^T\cdot B^T\) wäre es \(\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\6&4\end{pmatrix}\), also etwas anderes.
Besondere Matrizen
Eine Matrix mit gleich vielen Zeilen und Spalten heißt quadratisch. Die Einträge \(a_{ii}\) bilden die Hauptdiagonale, die andere Diagonale von rechts oben nach links unten heißt Nebendiagonale.
- Die Nullmatrix hat nur Nullen.
- Eine Diagonalmatrix hat nur auf der Hauptdiagonalen Einträge, die ungleich null sein dürfen.
- Die Einheitsmatrix \(E\) ist eine Diagonalmatrix mit lauter Einsen auf der Hauptdiagonalen. Es gilt \(E\cdot A=A\cdot E=A\).
- Eine obere Dreiecksmatrix hat unterhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen, eine untere oberhalb.
Jede Diagonalmatrix ist symmetrisch, denn beim Transponieren bleibt die Diagonale an ihrem Platz und alle anderen Einträge sind null.