Matrixgleichung umstellen
Voraussetzung: Inverse
In Klausuren steht oft eine Gleichung mit Matrizen und Vektoren, die du nach dem gesuchten Vektor auflösen sollst: \(A\cdot x+b=c\) oder \(x\cdot A=b\). Es gelten fast dieselben Regeln wie bei Zahlen, mit einem großen Unterschied: Du darfst nicht durch eine Matrix teilen und die Reihenfolge der Faktoren nicht verändern. Voraussetzung sind das Matrixprodukt und die Inverse.
Es gelten drei Regeln.
- Summanden verschiebst du wie bei Zahlen: \(A\cdot x+b=c\) wird zu \(A\cdot x=c-b\).
- Die Matrix vor \(x\) wirst du mit der Inversen los. Steht \(A\) links von \(x\), multiplizierst du beide Seiten von links mit \(A^{-1}\): \(A^{-1}\cdot A\cdot x=x\). Steht \(A\) rechts von \(x\), multiplizierst du von rechts.
- Die Inverse wird immer auf beide Seiten an derselben Stelle angeheftet, auf der rechten Seite also unmittelbar vor oder hinter dem, was dort steht.
Der Grund für die Seite: Das Produkt \(A\cdot B\) ist im Allgemeinen nicht gleich \(B\cdot A\). Nur wenn \(A^{-1}\) direkt neben \(A\) steht, wird aus \(A^{-1}\cdot A\) die Einheitsmatrix \(E\), und \(E\cdot x=x\). Steht die Inverse auf der falschen Seite, bleibt ein Produkt, das sich nicht vereinfachen lässt.
Wenn A rechts von x steht
Aus \(x\cdot A=b\) mit Zeilenvektoren \(x\) und \(b\) wird durch Multiplizieren von rechts mit \(A^{-1}\) die Gleichung \(x\cdot A\cdot A^{-1}=b\cdot A^{-1}\), also \(x=b\cdot A^{-1}\). Hier steht die Inverse rechts neben \(b\). Es ist dieselbe Regel, nur die Seite ist eine andere.
Ein zweites Beispiel, ein fehlender Eintrag der Inversen
Von \(A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\p&3\end{pmatrix}\) kennt man \(A=\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\), aber nicht den Eintrag \(p\). Weil \(A\cdot A^{-1}=E\) gilt, muss der Eintrag in Zeile \(2\) und Spalte \(1\) von \(A\cdot A^{-1}\) gleich \(0\) sein: Zeile \(2\) von \(A\) mal Spalte \(1\) von \(A^{-1}\) ist \(5\cdot 2+2\cdot p=0\), also \(p=-5\). Die Probe in Zeile \(1\), Spalte \(1\): \(3\cdot 2+1\cdot(-5)=1\).