Teilmenge, Gleichheit und Mengenoperationen
Voraussetzung: Mengen und Intervalle schreiben
Mit Mengen rechnet man, indem man sie vergleicht und verknüpft: Liegt eine Menge in einer anderen? Was haben zwei Mengen gemeinsam? Was ergibt sich, wenn man sie zusammenlegt? Das braucht man, um Lösungsmengen von Ungleichungen zu schneiden, Bereiche zulässiger Mengen zu beschreiben und später in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisse zu verbinden. Voraussetzung ist das Schreiben von Mengen.
Zwei Mengen vergleichst du so:
- \(A\subseteq B\) (Teilmenge): Jedes Element von \(A\) ist auch Element von \(B\). \(B\) darf weitere Elemente haben.
- \(A=B\) (gleich): \(A\) und \(B\) haben genau dieselben Elemente. Das gilt genau dann, wenn \(A\subseteq B\) und \(B\subseteq A\) gelten.
Verwechsle die beiden Zeichen \(\in\) und \(\subseteq\) nicht. \(\in\) verbindet ein Element mit einer Menge, \(\subseteq\) verbindet zwei Mengen. Für \(A=\{1,\,2,\,3\}\) ist \(2\in A\) wahr und \(\{2\}\subseteq A\) wahr. Die Zeile \(2\subseteq A\) ist keine sinnvolle Aussage, weil \(2\) keine Menge ist, und \(\{2\}\in A\) ist falsch, weil \(\{2\}\) kein Element von \(A\) ist.
Mengen verknüpfst du mit vier Operationen:
- Durchschnitt \(A\cap B\): die Elemente, die in \(A\) und in \(B\) liegen.
- Vereinigung \(A\cup B\): die Elemente, die in mindestens einer der Mengen liegen, jedes einmal.
- Differenz \(A\setminus B\): die Elemente von \(A\), die nicht in \(B\) liegen.
- Komplement \(\overline A\): die Elemente der Grundmenge \(\Omega\), die nicht in \(A\) liegen, also \(\overline A=\Omega\setminus A\).
Der Durchschnitt ist \(\{3,\,4\}\). Die Vereinigung ist \(\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}\), die 3 und die 4 stehen nur einmal da. Die Differenz \(A\setminus B\) ist \(\{1,\,2\}\), die Differenz \(B\setminus A\) ist \(\{5,\,6\}\). Die Differenz ist nicht symmetrisch.
Zählen
Für endliche Mengen gilt \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\). Die gemeinsamen Elemente stehen in \(|A|+|B|\) zweimal, sie werden einmal abgezogen. Für \(|A|=4\), \(|B|=4\) und \(|A\cap B|=2\) ist \(|A\cup B|=4+4-2=6\). Das passt zum Beispiel oben.
Mengengesetze
Durchschnitt und Vereinigung sind vertauschbar, \(A\cap B=B\cap A\) und \(A\cup B=B\cup A\), und sie lassen sich ineinander verteilen: \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\). Mit der Grundmenge gilt \(A\cup\overline A=\Omega\) und \(A\cap\overline A=\emptyset\).