Mengen und Intervalle schreiben
Voraussetzung: Gleichungen umformen
In der Wirtschaftsmathematik stehen Lösungen und Definitionsbereiche fast immer als Mengen: Der Definitionsbereich einer Wurzelfunktion, die Lösungsmenge einer Ungleichung, der Bereich der zulässigen Mengen. Wer die Schreibweise nicht liest, versteht die Aufgabe nicht. Du lernst, eine Menge zu lesen und zu schreiben, als Aufzählung oder als Beschreibung, und Intervalle mit eckigen und runden Klammern anzugeben. Voraussetzung sind die Zahlenbereiche \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{R}\).
Eine Menge ist eine Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte, der Elemente. Man schreibt sie in geschweiften Klammern:
- Aufzählung: \(M=\{1,\,3,\,5\}\). Die Reihenfolge spielt keine Rolle, und ein Element, das mehrfach dasteht, zählt nur einmal: \(\{3,\,1,\,1,\,5\}=\{1,\,3,\,5\}\).
- Beschreibung: \(M=\{x\in\mathbb{N}\mid x\text{ ist ungerade und }x\lt 6\}\). Gelesen: die Menge aller \(x\) aus \(\mathbb{N}\), für die gilt …
- Zugehörigkeit: \(3\in M\) heißt, 3 ist Element von \(M\). \(4\notin M\) heißt, 4 ist kein Element.
- Die leere Menge \(\emptyset\) hat kein Element.
Für Mengen reeller Zahlen verwendest du Intervalle. Die Klammer an einem Rand zeigt, ob der Rand dazugehört:
- \([a,\,b]\): alle \(x\) mit \(a\le x\le b\), beide Ränder gehören dazu (abgeschlossen).
- \((a,\,b)\): alle \(x\) mit \(a\lt x\lt b\), keiner der Ränder gehört dazu (offen).
- \([a,\,b)\) und \((a,\,b]\): halboffen, ein Rand gehört dazu. Eckig heißt dazu, rund heißt nicht dazu.
- Unbeschränkte Intervalle wie \([a,\,\infty)\) für \(x\ge a\). Am Zeichen \(\infty\) steht immer eine runde Klammer.
Links gehört die \(-1\) nicht dazu (\(\lt\)), rechts gehört die \(3\) dazu (\(\le\)). Das Intervall ist \((-1,\,3]\). Die ganzen Zahlen darin sind \(0\), \(1\), \(2\) und \(3\), also \(\{0,\,1,\,2,\,3\}\). Die \(-1\) fehlt, die \(3\) ist dabei.
Ein zweites Beispiel, Beschreibung und Aufzählung
Die Menge
\[ \begin{aligned} M=\{x\in\mathbb{N}\mid{}&x\le 20\text{ und}\\ &x\text{ ist Vielfaches von }6\} \end{aligned} \]
hat die Elemente \(6\), \(12\) und \(18\). In Aufzählung \(\{6,\,12,\,18\}\), drei Elemente. Das nächste Vielfache \(24\) liegt über \(20\), und die \(0\) gehört nicht zu \(\mathbb{N}\).
Definitionsbereich als Menge
Der Definitionsbereich von \(f(x)=\sqrt{x-2}\) besteht aus allen \(x\) mit \(x-2\ge 0\), also \(x\ge 2\). Als Intervall: \([2,\,\infty)\). Der Rand \(2\) gehört dazu, denn \(\sqrt 0=0\) ist erklärt. Bei \(f(x)=\frac{1}{x-2}\) ist \(x=2\) ausgeschlossen: \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).