Näherungsweise Änderung (Differential)
Voraussetzung: Grenzkosten und Grenzfunktionen
Oft will man nicht den genauen Wert einer Funktion, sondern wissen, um wie viel sie sich ändert, wenn sich die Menge ein wenig ändert: Um wie viel steigen die Kosten, wenn die Produktion von \(20\) auf \(22\) Stück wächst? Du könntest beide Funktionswerte ausrechnen und subtrahieren. Das geht schneller, wenn du die Ableitung kennst. Sie sagt, um wie viel sich der Wert je Einheit ändert, und mit der Zahl der Einheiten multipliziert gibt sie die Änderung. Man könnte versuchen, die Änderung durch die Ableitung zu teilen. Das ist falsch: Die Ableitung ist Änderung je Einheit, also wird mit der Menge multipliziert.
Die Herleitung steht im Differenzenquotienten. Es ist \(\frac{\Delta f}{\Delta x}\approx f'(x_0)\) für kleine \(\Delta x\). Multiplizierst du beide Seiten mit \(\Delta x\), erhältst du das Differential,
\[ \Delta f\approx f'(x_0)\cdot\Delta x. \]
Im Bild ist \(f(x)=x^2\) an der Stelle \(x_0=2\) mit \(\Delta x=0{,}5\). Die Tangente steigt um \(f'(2)\cdot 0{,}5=4\cdot 0{,}5=2\), der Graph steigt um \(f(2{,}5)-f(2)=2{,}25\). Die Näherung \(2\) liegt nahe am genauen Wert \(2{,}25\). Der Fehler ist klein, weil \(\Delta x\) klein ist.
Das Vorzeichen von \(\Delta x\) wirkt mit. Sinkt die Menge, ist \(\Delta x\) negativ, und das Differential ist negativ, wenn die Ableitung positiv ist. Ein negatives Ergebnis heißt: Der Wert sinkt. Die Ableitung gehört immer an die Stelle \(x_0\), von der aus du die Änderung misst, nicht ans Ende.
Wie gut die Näherung ist, hängt von der Größe von \(\Delta x\) ab. Bei kleinem \(\Delta x\) liegt die Tangente nahe am Graphen, und die Näherung ist gut. Bei großem \(\Delta x\) entfernt sich der Graph von der Tangente, und der Fehler wächst. In der Ökonomie dient das Differential deshalb für kleine Änderungen von Menge oder Preis.
Näherungswert für den neuen Funktionswert
Aus \(\Delta f\approx f'(x_0)\cdot\Delta x\) folgt \(f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\cdot\Delta x\). Du rechnest also den alten Wert aus und addierst das Differential. Das ist die Tangente an der Stelle \(x_0\), an der Stelle \(x_0+\Delta x\) ausgewertet. Für \(f(x)=x^2\) mit \(x_0=2\) und \(\Delta x=0{,}5\) ist der Näherungswert \(4+2=6\), der genaue Wert \(6{,}25\).
Konvex oder konkav
Ist \(f\) konvex, liegt die Tangente unter dem Graphen, und das Differential unterschätzt die Änderung, wenn \(\Delta x\) positiv ist. Ist \(f\) konkav, liegt die Tangente über dem Graphen, und das Differential überschätzt sie. Im Bild ist \(f(x)=x^2\) konvex: Die Näherung \(2\) liegt unter dem genauen Wert \(2{,}25\).
Relative Änderung
Teilst du \(\Delta f\) durch \(f(x_0)\), erhältst du die relative Änderung, in Prozent. Aus dem Differential \(\frac{\Delta f}{f}\approx\frac{f'(x_0)\cdot\Delta x}{f(x_0)}\) folgt die Elastizität: Sie vergleicht die relative Änderung von \(f\) mit der relativen Änderung von \(x\).