Näherungsweise Änderung (Differential)
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Näherungsweise Änderung (Differential)
Grundregel. Differential \(df=f'(x_0)\cdot\Delta x\), Ableitung an der Startstelle \(x_0\), \(\Delta x\) mit Vorzeichen. Neuer Wert: \(f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\cdot\Delta x\). Gut bei kleinem \(\Delta x\).
Beispiel
\(U(x)=50x-0{,}5x^2\) steigt von \(30\) auf \(32\) um etwa \(40\) Euro, genau sind es \(38\).
Fälle
Sinkt die Menge, ist \(\Delta x\) negativ. Konvex: Das Differential unterschätzt. Konkav: Es überschätzt.
Achtung
Ableitung mal \(\Delta x\), nicht durch \(\Delta x\). Ableitung an der Startstelle. Einheit Euro, nicht Euro je Mengeneinheit.
Mein Merksatz
Wie bestimmst du eine Änderung näherungsweise?
Beispiel ansehen
\(\Delta f\approx f'(x_0)\cdot\Delta x\). Für \(U(x)=50x-0{,}5x^2\) von \(30\) auf \(32\): \(U'(30)=20\), \(dU=20\cdot 2=40\).
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Die erste richtige Aufgabe auf Warm-up gibt die Bronze-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Standard frei. Die erste richtige auf Standard gibt die Silber-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Klausur frei. Die erste richtige auf Klausur gibt die Gold-Medaille für diese Fertigkeit, die Fertigkeit ist geübt. Die zweite richtige Klausuraufgabe, eine andere als die erste, macht die Gold-Medaille sicher.
Eine Aufgabe, die du sofort richtig löst, zählt voll. Korrigierst du dieselbe Aufgabe, bevor die Lösung dasteht, zählt sie voll. Steht die Lösung schon da, zählt eine ähnliche Aufgabe halb. Zwei solche Aufgaben heben die Stufe genauso wie eine sofort richtige.