Umsatz und Gewinn
Voraussetzung: Grenzkosten und Grenzfunktionen
Ein Betrieb will Gewinn machen, und die Klausur fragt danach in fast jeder ökonomischen Aufgabe. Dafür brauchst du drei Funktionen. Die Kostenfunktion \(K(x)\) kennst du. Die Umsatzfunktion \(U(x)\) gibt an, was der Betrieb einnimmt, wenn er \(x\) Mengeneinheiten verkauft. Die Gewinnfunktion \(G(x)\) gibt an, was nach Abzug der Kosten bleibt. Man könnte versuchen, den Umsatz schon für den Gewinn zu halten. Das ist falsch: Ein Betrieb mit hohem Umsatz macht Verlust, wenn seine Kosten noch höher sind.
Bei einem festen Preis \(p\) je Mengeneinheit ist der Umsatz der Preis mal die Menge, \(U(x)=p\cdot x\). Der Gewinn ist Umsatz minus Kosten,
\[ G(x)=U(x)-K(x). \]
Im Bild ist \(U(x)=8x\) und \(K(x)=40+3x\). Die Geraden schneiden sich bei \(x=8\): Dort ist \(U(8)=K(8)=64\), der Gewinn ist null. Links davon liegen die Kosten über dem Umsatz, es entsteht ein Verlust, \(G(x)\lt 0\). Rechts davon liegt der Umsatz über den Kosten, es entsteht ein Gewinn, \(G(x)\gt 0\). Der Schnittpunkt heißt Gewinnschwelle (Break-even-Punkt), die Mengen mit \(G(x)\gt 0\) bilden die Gewinnzone. Die Gewinnfunktion ist \(G(x)=8x-(40+3x)=5x-40\), und \(G(x)=0\) liefert \(x=8\).
Beim Abziehen der Kosten setzt du eine Klammer: Das Minus gilt für jedes Glied der Kostenfunktion, also für die Fixkosten und die variablen Kosten. Es ist \(8x-(40+3x)=8x-40-3x\), nicht \(8x-40+3x\).
Oft hängt der Preis von der Menge ab: Wer mehr verkaufen will, muss billiger werden. Die Preis-Absatz-Funktion \(p(x)\) beschreibt das. Dann ist der Umsatz wieder Preis mal Menge, aber der Preis ist eine Funktion: \(U(x)=p(x)\cdot x\). Für \(p(x)=50-0{,}5x\) ist \(U(x)=50x-0{,}5x^2\), eine nach unten geöffnete Parabel.
Die Gewinnschwelle ist die Menge, bei der Umsatz und Kosten gleich sind, also \(G(x)=0\) gilt. Du findest sie, indem du \(G(x)=0\) löst. Bei einer Parabel als Gewinnfunktion gibt es zwei solche Stellen, die Grenzen der Gewinnzone.
Der Grenzgewinn ist die Ableitung des Gewinns. Wegen \(G=U-K\) gilt \(G'(x)=U'(x)-K'(x)\): Grenzumsatz minus Grenzkosten. Er sagt, wie stark der Gewinn bei einer weiteren Einheit wächst. Solange \(G'(x)\gt 0\) ist, lohnt sich eine weitere Einheit, der Gewinn wächst. Wo \(G'(x)=0\) wird und die Kurve von steigend zu fallend wechselt, liegt das Gewinnmaximum. Wie du es sicher bestimmst, steht auf der Karte zu den Extrempunkten.
Gewinn mit Preis-Absatz-Funktion, \(p(x)=50-0{,}5x\), \(K(x)=10x+100\)
Der Umsatz ist \(U(x)=(50-0{,}5x)\cdot x=50x-0{,}5x^2\). Der Gewinn ist \(G(x)=U(x)-K(x)\). Das Minus gilt für beide Glieder der Kosten, also ist \(G(x)=-0{,}5x^2+40x-100\). Eine nach unten geöffnete Parabel hat ein Maximum, und die Stellen mit \(G(x)=0\) begrenzen die Gewinnzone. Das Maximum liegt bei \(G'(x)=-x+40=0\), also bei \(x=40\).
Erlös, Umsatz und Einnahmen
In der Wirtschaftsmathematik sagt man statt Umsatz auch Erlös oder Einnahmen. In der Buchführung können die Wörter Verschiedenes meinen. Hier ist immer Preis mal verkaufte Menge gemeint. Der Gewinn ist der Erlös minus die Gesamtkosten, nicht minus die variablen Kosten allein.
Grenzumsatz im Vergleich zum Preis
Bei einem festen Preis ist der Grenzumsatz gleich dem Preis, \(U'(x)=p\). Bei einer sinkenden Preis-Absatz-Funktion ist der Grenzumsatz kleiner als der Preis: Für \(U(x)=50x-0{,}5x^2\) ist \(U'(x)=50-x\), das ist weniger als \(p(x)=50-0{,}5x\), denn eine zusätzliche Einheit senkt auch den Preis für die anderen Einheiten.