Grenzkosten und Grenzfunktionen
Voraussetzung: Ableitungsregeln
Zu jeder Kostenfunktion gehört eine Frage, die in der Klausur fast immer kommt: Was kostet die nächste Einheit? Die Gesamtkosten \(K(x)\) sagen, was alle \(x\) Einheiten zusammen kosten. Die Durchschnittskosten sagen, was eine Einheit im Mittel kostet. Aber ob sich ein zusätzliches Stück lohnt, entscheidet der Zuwachs der Kosten beim nächsten Stück. Das sind die Grenzkosten. Man könnte versuchen, dafür die Durchschnittskosten zu nehmen. Das ist falsch: Eine Fabrik, deren Durchschnittskosten sinken, kann trotzdem steigende Zusatzkosten haben.
Die Grenzkosten sind die Ableitung der Kostenfunktion, \(K'(x)\). Das passt zum Differenzenquotienten. Die Mehrkosten einer weiteren Einheit sind \(K(x+1)-K(x)\), das ist der Differenzenquotient mit Schrittweite \(1\). Ist \(K\) nicht stark gekrümmt, liegt diese Zahl sehr nahe an der Steigung der Tangente, also an \(K'(x)\). Darum rechnet man mit der Ableitung.
Die Einheit der Grenzkosten ist Euro je Mengeneinheit. Das folgt aus dem Quotienten: Die Ableitung ist Änderung der Kosten (Euro) geteilt durch Änderung der Menge (Mengeneinheiten). Die Gesamtkosten haben die Einheit Euro, die Grenzkosten Euro je Mengeneinheit.
Im Bild ist \(K(x)=0{,}05x^2+2x+40\). Die Grenzkostenfunktion ist \(K'(x)=0{,}1x+2\), denn die Fixkosten \(40\) fallen weg. Bei \(x=10\) sind die Grenzkosten \(K'(10)=3\) Euro je Mengeneinheit, das ist die Steigung der Tangente im Bild. Bei \(x=20\) sind es \(K'(20)=4\) Euro. Die Grenzkosten wachsen mit der Menge, das passt zur nach oben gekrümmten Kostenkurve.
Auch andere Größen haben eine Grenzfunktion, immer die Ableitung. Der Grenzumsatz \(U'(x)\) sagt, wie stark der Umsatz bei einer weiteren Einheit wächst. Der Grenzgewinn \(G'(x)\) sagt, wie stark der Gewinn bei einer weiteren Einheit wächst. Hat die Kostenfunktion eine S-Form, fallen die Grenzkosten zuerst und steigen später. Das nennt man das Ertragsgesetz.
Grenzkosten und Durchschnittskosten
Im Minimum der Durchschnittskosten sind Grenzkosten und Durchschnittskosten gleich. Das folgt aus der Quotientenregel: Die Durchschnittskosten \(k(x)=\frac{K(x)}{x}\) haben die Ableitung \(k'(x)=\frac{K'(x)\,x-K(x)}{x^2}\). Sie ist null, wenn \(K'(x)=\frac{K(x)}{x}\) gilt. Solange die Grenzkosten unter den Durchschnittskosten liegen, sinken diese, danach steigen sie.
Exakt oder näherungsweise
Die Mehrkosten \(K(x+1)-K(x)\) sind der genaue Wert für eine Einheit mehr, die Grenzkosten \(K'(x)\) sind die Näherung. Bei stark gekrümmten Funktionen oder großen Schritten unterscheiden sie sich deutlicher. Wie man die Änderung um mehr als eine Einheit näherungsweise bestimmt, steht auf der Karte zum Differential.
Grenzumsatz am Beispiel
Verkauft ein Betrieb jede Einheit für \(8\) Euro, ist der Umsatz \(U(x)=8x\) und der Grenzumsatz \(U'(x)=8\) Euro je Einheit. Bei fallenden Preisen mit wachsender Menge, etwa \(U(x)=50x-0{,}5x^2\), ist der Grenzumsatz \(U'(x)=50-x\), er sinkt mit der Menge.