Fixe, variable und Durchschnittskosten
Voraussetzung: Funktionswert und Definitionsbereich
Ein Betrieb hat Kosten, und sie hängen von der Menge ab, die er herstellt. Die Kostenfunktion \(K(x)\) gibt die Gesamtkosten in Euro an, wenn \(x\) Mengeneinheiten (ME) hergestellt werden. In der Klausur ist sie oft der Ausgangspunkt der ganzen Aufgabe: Aus ihr entstehen Durchschnittskosten, Grenzkosten und der Gewinn. Man könnte versuchen, alle Kosten als „Kosten pro Stück“ zu behandeln. Das ist falsch, denn manche Kosten fallen an, auch wenn kein einziges Stück gefertigt wird.
Die Kosten zerfallen in zwei Teile. Fixkosten \(K_f\) sind unabhängig von der Menge: die Miete der Halle, die Versicherung, die Abschreibung der Maschine. Variable Kosten \(K_v(x)\) wachsen mit der Menge: das Material und der Lohn je gefertigtem Stück. Die Gesamtkosten sind die Summe,
\[ K(x)=K_f+K_v(x). \]
Bei einer linearen Kostenfunktion \(K(x)=K_f+k\cdot x\) steht der Fixkostenanteil \(K_f\) allein, und \(k\) sind die variablen Stückkosten, die Kosten je zusätzlichem Stück. Im Bild ist \(K(x)=100+5x\): Bei \(x=0\) liegen die Fixkosten von \(100\) Euro, und mit jedem Stück kommen \(5\) Euro dazu. Bei \(20\) Stück sind das \(K(20)=100+5\cdot 20=200\) Euro.
Oft interessiert, was ein einzelnes Stück im Durchschnitt kostet. Die Durchschnittskosten (Stückkosten) sind die Gesamtkosten geteilt durch die Menge,
\[ k(x)=\frac{K(x)}{x}\quad\text{für }x\gt 0. \]
Der Term wird als Ganzes durch \(x\) geteilt, und das heißt jeder Summand. Für \(K(x)=100+5x\) ist \(k(x)=\frac{100}{x}+5\). Bei \(20\) Stück ist \(k(20)=\frac{200}{20}=10\) Euro je Stück. Man könnte versuchen, nur den letzten Summanden zu teilen und \(100+\frac{5x}{x}=105\) zu schreiben. Das ist falsch, die Fixkosten müssen auch geteilt werden.
Der Aufbau \(k(x)=\frac{K_f}{x}+k\) zeigt, was passiert, wenn die Menge wächst: Der Fixkostenanteil \(\frac{K_f}{x}\) wird kleiner, denn die Fixkosten verteilen sich auf mehr Stück. Die Durchschnittskosten sinken und nähern sich den variablen Stückkosten \(k\), ohne sie je zu erreichen. Diesen Effekt nennt man Fixkostendegression. Er erklärt, warum eine größere Produktion je Stück oft billiger ist.
Nichtlineare Kosten, \(K(x)=0{,}05x^2+2x+40\)
Die Fixkosten sind \(40\) Euro, alles andere ist variabel. Die Durchschnittskosten sind \(k(x)=\frac{K(x)}{x}=0{,}05x+2+\frac{40}{x}\). Bei \(x=10\) ist \(K(10)=65\) und \(k(10)=6{,}5\) Euro je Stück. Auch hier teilst du jeden Summanden durch \(x\). Der Term \(0{,}05x\) wächst, der Anteil \(\frac{40}{x}\) sinkt, die Durchschnittskosten haben ein Minimum.
Variable Stückkosten
Teilst du nur die variablen Kosten durch die Menge, erhältst du die variablen Stückkosten \(k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x}\). Bei \(K(x)=100+5x\) ist das \(k_v(x)=5\), also eine Zahl. Das Minimum der Durchschnittskosten heißt Betriebsoptimum, das Minimum der variablen Stückkosten Betriebsminimum. Du findest sie später mit der Ableitung.
Definitionsbereich der Kosten
Mathematisch kann man in \(K(x)=100+5x\) jede Zahl einsetzen. Ökonomisch sinnvoll ist \(x\ge 0\), und bei einer Kapazität von \(200\) Stück \(0\le x\le 200\). Die Durchschnittskosten gibt es nur für \(x\gt 0\), denn durch null teilt man nicht.