Gewinnzone bestimmen
Voraussetzung: Umsatz und Gewinn
Ein Betrieb macht erst ab einer bestimmten Menge Gewinn und bei sehr großer Menge manchmal wieder Verlust, wenn die Kosten schneller steigen als der Erlös. Der Bereich dazwischen ist die Gewinnzone, und ihre Ränder heißen Gewinnschwelle und Gewinngrenze. Sie beantworten die wichtigste Frage der Betriebswirtschaft: Ab wann lohnt sich die Produktion, und bis wann? Voraussetzung ist die Gewinnfunktion als Erlös minus Kosten und das Lösen quadratischer Gleichungen.
Der Gewinn ist \(G(x)=E(x)-K(x)\) mit dem Erlös \(E\) und den Kosten \(K\). Die Gewinnzone besteht aus den Mengen \(x\) mit \(G(x)\gt 0\). Ihre Ränder sind die Nullstellen von \(G\):
- Die Gewinnschwelle (Break-even-Punkt) ist die kleinere Menge mit \(G(x)=0\): Hier decken die Erlöse zum ersten Mal die Kosten.
- Die Gewinngrenze ist die größere Menge mit \(G(x)=0\), falls es sie gibt (bei Kapazitätsgrenzen oder steigenden Stückkosten): Danach entsteht wieder Verlust.
Bei linearem Erlös \(E(x)=px\) und linearen Kosten \(K(x)=F+kx\) mit Fixkosten \(F\) gibt es nur eine Schwelle. Aus \(px=F+kx\) folgt \((p-k)\,x=F\), also \(x=\dfrac{F}{p-k}\). Der Nenner \(p-k\) ist der Gewinn je Stück vor Fixkosten, der Stückdeckungsbeitrag. Er muss die Fixkosten decken. Das gilt nur, wenn \(p-k\gt 0\) ist. Ist \(p\le k\), ist \(G(x)=(p-k)\,x-F\) für jede Menge negativ, und es gibt nie Gewinn, also keine Gewinnzone. Bei quadratischen Kosten oder quadratischem Gewinn hat \(G(x)=0\) bis zu zwei Lösungen, Schwelle und Grenze. Hat die Gleichung keine Lösung und ist \(G\) überall negativ, gibt es ebenfalls keine Gewinnzone.
Der Gewinn ist \(G(x)=12x-32-x^2=-x^2+12x-32\). Aus \(G(x)=0\) folgt \(x^2-12x+32=0\) und nach der p,q-Formel \(x=6\pm\sqrt{36-32}=6\pm 2\), also \(x_1=4\) und \(x_2=8\). Die Gewinnschwelle liegt bei \(4\), die Gewinngrenze bei \(8\). Dazwischen ist \(G\gt 0\), zum Beispiel \(G(6)=-36+72-32=4\).
Ein zweites Beispiel, lineare Kosten
Ein Verlag verkauft ein Buch zu 20 Euro. Die Herstellung kostet 8 Euro je Buch, die Fixkosten sind 3 000 Euro. Die Gewinnschwelle ist \(x=\dfrac{3000}{20-8}=250\) Bücher. Bei 250 Büchern sind Erlös und Kosten gleich, \(20\cdot 250=5000=3000+8\cdot 250\). Jedes weitere Buch bringt 12 Euro Gewinn.
Das Gewinnmaximum
Gibt es eine Gewinnzone und hat \(G\) ein Maximum, liegt das Gewinnmaximum in der Zone. Nicht jede Gewinnfunktion hat eines: Bei linearem \(G\) mit \(p\gt k\) wächst der Gewinn mit jeder Menge weiter, solange keine Kapazitätsgrenze gilt. Bei der quadratischen Gewinnfunktion des Beispiels liegt es in der Mitte der beiden Nullstellen, bei \(x=6\), und dort ist \(G(6)=4\) der größte Gewinn. Gewinnzone und Gewinnmaximum sind verschiedene Fragen: Die Zone ist ein Bereich, das Maximum ein Punkt.