Art der Lösungsmenge
Voraussetzung: Nullzeile
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen. Eine Zahl dazwischen, etwa zwei, gibt es nicht. Das fertige Tableau zeigt dir, welcher der drei Fälle vorliegt, und du musst dafür nicht rechnen, sondern nur drei Dinge prüfen. Voraussetzung sind die Karten zum Widerspruch, zur freien Variable und zur Nullzeile.
Prüfe in dieser Reihenfolge:
- Gibt es eine Zeile \(0=c\) mit \(c\neq 0\)? Dann gibt es keine Lösung, ganz gleich, was die anderen Zeilen sagen.
- Gibt es keinen Widerspruch und hat jede Variable eine Pivotzeile? Dann gibt es genau eine Lösung.
- Gibt es keinen Widerspruch, aber mindestens eine Variable ohne Pivotzeile? Dann ist sie frei, und es gibt unendlich viele Lösungen.
Warum diese Reihenfolge? Der Widerspruch entscheidet allein, weil alle Zeilen zugleich gelten müssen. Erst wenn es keinen gibt, zählst du die Pivotzeilen. Bei \(n\) Unbekannten und \(p\) Pivotzeilen ohne Widerspruch ist \(p=n\) die eindeutige Lösung. Ist \(p\lt n\), bleiben \(n-p\) Variablen frei. Nullzeilen \(0=0\) kommen im zweiten und im dritten Fall vor und ändern nichts an der Art. Sie sind aber nicht nötig: Eine einzelne Gleichung wie \(x+2y=6\) hat zwei Unbekannte und nur eine Pivotzeile, also bleibt \(y\) frei und es gibt unendlich viele Lösungen, ganz ohne Nullzeile. Entscheidend ist allein, ob eine Variable ohne Pivotzeile bleibt.
\[ \left(\begin{array}{cc|c}1&0&5\\0&1&2\end{array}\right), \]
das zweite ist
\[ \left(\begin{array}{cc|c}1&3&4\\0&0&0\end{array}\right), \]
das dritte ist
\[ \left(\begin{array}{cc|c}1&0&5\\0&0&2\end{array}\right). \]
Im ersten hat jede Variable eine Pivotzeile und es gibt keinen Widerspruch: genau eine Lösung, \(x=5\) und \(y=2\). Im zweiten bleibt \(y\) ohne Pivotzeile und die zweite Zeile ist \(0=0\): unendlich viele Lösungen, \(x=4-3y\). Im dritten steht \(0=2\): keine Lösung, auch wenn \(x=5\) aus der ersten Zeile folgt.
Ein zweites Beispiel, der Parameter entscheidet
Das Tableau \(\left(\begin{array}{cc|c}1&2&4\\0&0&c-3\end{array}\right)\) hängt von \(c\) ab. Für \(c=3\) steht in der zweiten Zeile \(0=0\), \(y\) ist frei, und es gibt unendlich viele Lösungen. Für jedes andere \(c\) steht dort \(0=c-3\neq 0\), und es gibt keine Lösung. Genau eine Lösung gibt es für kein \(c\), weil \(y\) in beiden Fällen keine Pivotzeile hat. Solche Fragen nach einem Parameter kommen in Klausuren oft vor.