Freie Variable
Voraussetzung: Gauß-Schritt
Bisher hatte jedes Gleichungssystem genau eine Lösung: In der Einheitsform konntest du jede Unbekannte ablesen. Es gibt Systeme, bei denen das nicht geht, weil weniger unabhängige Gleichungen als Unbekannte da sind. Dann bleibt am Ende eine Unbekannte übrig, die keine Zeile festlegt. Das nennt man eine freie Variable, und das System hat unendlich viele Lösungen. Voraussetzung ist das Gauß-Verfahren. Die Karte zum Widerspruch ergänzt es, ist aber nicht nötig.
Am fertigen Tableau erkennst du es so: In der Spalte einer Variablen steht keine Pivotzeile, also keine führende \(1\), die diese Variable festlegt. Diese Variable ist frei. Sie darf jeden Wert \(t\) annehmen, und die anderen Variablen werden aus ihren Zeilen berechnet. Oft ist am Ende eine Zeile \(0=0\) entstanden, die wegfällt. Zwingend ist das nicht: Die eine Gleichung \(x+2y=6\) mit zwei Unbekannten hat keine Nullzeile, und \(y\) ist trotzdem frei, mit \(y=t\) und \(x=6-2t\).
Warum gibt es dann unendlich viele Lösungen? Für jeden Wert von \(t\) lässt sich jede andere Variable ausrechnen, und alle Zeilen sind erfüllt. Die Zeile \(0=0\) schränkt nichts ein. Setzt du \(t\) auf eine feste Zahl, bekommst du eine einzelne Lösung. Die Menge aller dieser Lösungen schreibst du mit dem Parameter \(t\) auf.
Wenn die freie Variable nicht die letzte ist
Welche Variable frei ist, hängt davon ab, wo die Pivotzeilen stehen, nicht von der Reihenfolge. Im Tableau \(\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&0&6\\0&0&1&3\end{array}\right)\) hat \(x\) die erste Zeile und \(z\) die zweite. Die Spalte von \(y\) hat keine Pivotzeile, also ist \(y=t\) frei. Aus der ersten Zeile folgt \(x=6-2t\), aus der zweiten \(z=3\). Die Lösungsmenge ist \((6-2t,\ t,\ 3)\). Beachte: \(z\) ist hier fest, auch wenn die freie Variable davor steht.
Ein zweites Beispiel, mehr als eine freie Variable
Hat ein System mit vier Unbekannten nur zwei Pivotzeilen, bleiben zwei Variablen frei, etwa \(s\) und \(t\). Für jedes Paar \((s,t)\) bekommst du eine Lösung. Die Zahl der freien Variablen ist die Zahl der Unbekannten minus die Zahl der Pivotzeilen. Das wirst du bei der Art der Lösungsmenge wieder brauchen.