Nullzeile
Voraussetzung: Gauß-Schritt
Beim Gauß-Verfahren kann eine Zeile am Ende ganz aus Nullen bestehen, auch rechts vom Strich. Das passiert, wenn eine Gleichung nichts Neues sagt, weil sie aus den anderen folgt. Du musst diese Zeile von der Widerspruchszeile unterscheiden, sonst liest du aus einem lösbaren System „keine Lösung“. Voraussetzung sind die Gauß-Schritte. Die Karte zum Widerspruch hilft beim Unterscheiden, ist aber nicht nötig.
Eine Nullzeile ist eine Zeile \(0x+0y+0z=0\), kurz \(0=0\). Sie ist für alle Zahlen wahr. Deshalb schränkt sie die Variablen nicht ein und kann gestrichen werden, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert. Der Unterschied zur Widerspruchszeile \(0=c\) liegt allein rechts: Bei der Nullzeile steht dort \(0\), beim Widerspruch eine Zahl \(c\neq 0\).
Wann entsteht eine Nullzeile? Wenn eine Gleichung eine Summe oder ein Vielfaches anderer Gleichungen ist, auch auf der rechten Seite. Dann hebt der Gauß-Schritt die Zeile ganz auf. Ist sie links schon die Summe der anderen, aber rechts nicht, bleibt \(0=c\) stehen, und das System hat keine Lösung.
Ein zweites Beispiel, dieselbe Rechnung mit anderer rechter Seite
Lautet (III) stattdessen \(x+2y=9\), bleibt die linke Seite die Summe von (I) und (II), aber \(6+1=7\) ist nicht \(9\). Mit \(\text{III}-\text{I}-\text{II}\) steht dann links \(0\) und rechts \(9-7=2\). Das ist die Zeile \(0=2\), ein Widerspruch. Dieselben Koeffizienten führen also zu ganz verschiedenen Ergebnissen, je nachdem, was rechts steht. Erst die rechte Seite verrät, ob eine Nullzeile oder ein Widerspruch entstanden ist.