Widerspruch
Voraussetzung: Gauß-Schritt
Nicht jedes lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung. Es kann auch keine oder unendlich viele haben. Das Gauß-Verfahren zeigt dir beides am fertigen Tableau, ohne dass du raten musst. Auf dieser Karte geht es um den ersten Fall: Eine Zeile verrät, dass das System keine Lösung hat. Voraussetzung sind die Gauß-Schritte, vor allem der zweite: das Vielfache einer Zeile von einer anderen abziehen, auch rechts vom Strich.
Wenn beim Umformen links in einer Zeile nur Nullen übrig bleiben, steht dort \(0x+0y=c\), kurz \(0=c\). Ist \(c\neq 0\), ist das ein Widerspruch: Die linke Seite ist für alle Zahlen \(x\) und \(y\) gleich \(0\), also nie gleich \(c\). Alle Gleichungen eines Systems müssen gleichzeitig gelten. Gilt eine davon für keine Zahlen, gibt es keine Zahlen, die alle erfüllen. Das System hat dann keine Lösung, die Lösungsmenge ist leer.
Das gilt auch dann, wenn die anderen Zeilen des Tableaus gut lösbar aussehen. Eine einzige Zeile \(0=c\) mit \(c\neq 0\) genügt. Als Kurzform für eine solche Zeile schreibt man \(0=1\): Jeder Widerspruch lässt sich durch Teilen auf diese Form bringen, und \(0=1\) ist offenbar falsch.
Ein zweites Beispiel, ein Parameter entscheidet
Bei (I) \(x+3y=4\) und (II) \(2x+6y=c\) ist Zeile II links das Doppelte von Zeile I. Nach \(\text{II}\mapsto\text{II}-2\cdot\text{I}\) steht dort \(0x+0y=c-8\). Für \(c\neq 8\) ist das ein Widerspruch, das System hat keine Lösung. Nur für \(c=8\) wird daraus \(0=0\), und dann hat das System unendlich viele Lösungen, wie die nächste Karte zeigt. Der Wert \(c=8\) ist genau das Doppelte der rechten Seite von (I), denn Zeile II ist dann auch rechts das Doppelte von Zeile I.