Optimum ablesen
Voraussetzung: Pivot und Theta
Der Simplex-Algorithmus endet, wenn die Zeile \(Z\) keinen negativen Eintrag mehr hat. Dann ist das Optimum erreicht, und das Tableau enthält die Lösung. Du musst nur wissen, wo du sie findest. Voraussetzung sind das Starttableau, die Wahl von Pivotspalte und Pivotzeile und die Schlupfvariablen.
Im fertigen Tableau gelten drei Regeln:
- Eine Eine Basisvariable hat den Wert der rechten Seite ihrer Zeile. Dazu: Optimum ablesen steht in der Spalte BV, ihre Spalte enthält eine \(1\) und sonst Nullen. Ihr Wert ist die Zahl rechts in der Spalte \(b\) ihrer Zeile.
- Eine Eine Nichtbasisvariable ist 0. Dazu: Optimum ablesen steht nicht in der Spalte BV. Ihr Wert ist \(0\).
- Der optimale Wert der Zielfunktion steht rechts in der Zeile \(Z\).
Das Ablesen hängt an der Gestalt des Tableaus. Jede Basisvariable hat in ihrer Zeile genau eine \(1\) in ihrer eigenen Spalte, die anderen Variablen in dieser Zeile sind Nichtbasisvariablen mit dem Wert \(0\). Setzt du diese Nullen in die Gleichung der Zeile ein, bleibt nur die Basisvariable mit dem Wert der rechten Seite. Dasselbe gilt für die Zeile \(Z\): Alle Nichtbasisvariablen sind \(0\), also bleibt der Wert rechts.
Was ein positiver Schlupf bedeutet
Ist eine Schlupfvariable Basisvariable, steht ihr Wert rechts in ihrer Zeile. Ein positiver Wert heißt, dass von dieser Kapazität etwas ungenutzt bleibt. Im Tableau \(\begin{array}{c|ccc|c}\text{BV}&x_1&S_1&S_2&b\\\hline x_1&1&2&0&9\\S_2&0&-1&1&6\\\hline Z&0&4&0&45\end{array}\) ist \(S_2=6\), also bleiben \(6\) Einheiten der zweiten Kapazität im Optimum frei. Die erste Nebenbedingung ist bindend, denn \(S_1\) ist Nichtbasisvariable und hat den Wert \(0\).
Ein zweites Beispiel, wenn alles ausgeschöpft ist
Sind beide Schlupfvariablen Nichtbasisvariablen, ist beides ausgeschöpft: Im Optimum liegt der Punkt auf beiden Grenzgeraden, in der Ecke, in der sie sich schneiden. Das trifft beim Beispiel oben zu. Das Ablesen geht auch dann so: Basisvariablen rechts, Nichtbasisvariablen null, Zielwert rechts in \(Z\).