Zielfunktion
Voraussetzung: Funktionswert und Definitionsbereich
In der linearen Optimierung gibt es immer eine Größe, die möglichst groß oder möglichst klein werden soll: der Gewinn, die Kosten, der Umsatz. Sie hängt von den Mengen ab, die der Betrieb wählen kann, und heißt Zielfunktion. Bevor du ein Optimierungsproblem lösen kannst, musst du diese Funktion aufstellen und an einer Stelle ausrechnen können. Voraussetzung ist das Einsetzen von Zahlen in einen linearen Term.
Eine lineare Zielfunktion von \(n\) Entscheidungsvariablen \(x_1,\dots,x_n\) hat die Form
\[ Z(x_1,\dots,x_n)=c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_nx_n. \]
Die Zahl \(c_i\) ist der Beitrag, den eine Einheit von \(x_i\) zum Ziel leistet, zum Beispiel der Gewinn je Stück. Den Wert an einer Stelle bekommst du, indem du jede Stückzahl mit ihrem Koeffizienten multiplizierst und alle Produkte addierst.
Das Optimierungsverfahren dieses Kurses sucht ein Maximum. Soll stattdessen ein Minimum gefunden werden, etwa bei Kosten \(K\), wechselst du das Vorzeichen: Du maximierst \(\tilde Z=-K\). Das Maximum von \(-K\) liegt genau dort, wo \(K\) am kleinsten ist, und jeder Koeffizient wechselt das Vorzeichen.
Die Gewinnfunktion aus Preis und Kosten
Oft sind nicht die Gewinne je Stück gegeben, sondern Preise und Herstellungskosten. Der Gewinn je Stück ist dann Preis minus Kosten. Verkauft ein Betrieb Produkt 1 für \(20\) Euro bei \(12\) Euro Kosten und Produkt 2 für \(30\) Euro bei \(18\) Euro Kosten, ist \(Z=(20-12)x_1+(30-18)x_2=8x_1+12x_2\). Der Umsatz \(20x_1+30x_2\) wäre die falsche Zielfunktion, denn die Kosten sind noch nicht abgezogen.
Ein zweites Beispiel, Kosten minimieren
Ein Betrieb will die Kosten \(K=6x_1+4x_2\) minimieren. Er maximiert \(\tilde Z=-6x_1-4x_2\). An der Stelle \((2,5)\) ist \(K=6\cdot 2+4\cdot 5=32\) und \(\tilde Z=-32\). Eine andere Stelle mit höherem \(\tilde Z\) hat niedrigere Kosten, zum Beispiel \((1,1)\) mit \(\tilde Z=-10\). Je größer \(\tilde Z\), desto kleiner \(K\).