Das passende Verfahren
Voraussetzung: Die Mitternachtsformel
Für quadratische Gleichungen kennst du vier Wege: Faktorisieren (ausklammern oder Faktoren gleich null setzen), Wurzelziehen, die p,q-Formel und die Mitternachtsformel. Jeder löst bestimmte Gleichungen sehr schnell. Die Mitternachtsformel löst alle, ist aber oft der längste Weg. In der Klausur kommt es auf die Zeit an: Du wählst das kürzeste Verfahren, das sicher zur Lösung führt.
Zwischen p,q-Formel und Mitternachtsformel ist die Wahl oft Geschmackssache, beide gehen für normierte Gleichungen. Bei den anderen Verfahren spart die richtige Wahl dagegen deutlich Zeit.
Der erste Schritt ist immer derselbe: Auf der rechten Seite muss \(0\) stehen. Steht dort etwas anderes, bringst du alles auf eine Seite. Erst dann entscheidest du.
Danach fragst du der Reihe nach. Steht links schon ein Produkt aus Klammern, setzt du jeden Faktor gleich null. Fehlt das Glied ohne \(x\), klammerst du \(x\) aus und setzt dann beide Faktoren gleich null.
Fehlt das Glied mit \(x\), stellst du nach \(x^2\) um und ziehst die Wurzel. Aus \(x^2=c\) mit \(c>0\) folgt \(x=\pm\sqrt{c}\).
Trifft nichts davon zu, sind alle drei Glieder da. Steht vor \(x^2\) die \(1\), nimmst du die p,q-Formel. Steht dort eine andere Zahl, nimmst du die Mitternachtsformel, denn sie braucht kein Teilen durch \(a\).
Die Mitternachtsformel ist dein Rückfall, wenn du unsicher bist: Sie funktioniert bei jeder quadratischen Gleichung.
Erst auf null bringen, \(2x^2+3=5x\)
Ziehe \(5x\) auf beiden Seiten ab: \(2x^2-5x+3=0\). Jetzt stehen alle drei Glieder da, und vor \(x^2\) steht \(2\). Die Mitternachtsformel nimmt \(a=2\), \(b=-5\) und \(c=3\). Die Diskriminante ist \(25-24=1\), also ist \(x=\frac{5\pm 1}{4}\), das heißt \(x=\frac{3}{2}\) oder \(x=1\).
Binomische Formel erkennen, \(x^2-6x+9=0\)
Die linke Seite ist die zweite binomische Formel: \((x-3)^2=0\). Das ist Faktorisieren, und \(x=3\) ist die einzige Lösung. Die p,q-Formel gäbe mit \(p=-6\) und \(q=9\) unter der Wurzel \(9-9=0\), also dasselbe, aber mit mehr Rechnung.
Mehrere Wege passen, \(x^2-9=0\)
Das Glied mit \(x\) fehlt, du kannst nach \(x^2=9\) umstellen und die Wurzel ziehen: \(x=\pm 3\). Du kannst auch die dritte binomische Formel nehmen: \((x-3)(x+3)=0\). Beides ist kurz, nimm den Weg, den du sicherer beherrschst.
Keine Lösung, \(x^2+4=0\)
Das Glied mit \(x\) fehlt, also \(x^2=-4\). Eine Wurzel aus einer negativen Zahl gibt es in den reellen Zahlen nicht. Die Lösungsmenge ist leer.