Rang und reguläre Matrizen
Voraussetzung: Ganzer Gauß-Lauf
Der Rang einer Matrix zählt, wie viele ihrer Zeilen wirklich etwas Neues beitragen. Er erklärt, warum ein Gleichungssystem manchmal keine eindeutige Lösung hat, und er entscheidet, ob eine quadratische Matrix eine Inverse besitzt. Du liest ihn am Ende des Gauß-Verfahrens ab. Voraussetzung ist der ganze Gauß-Lauf.
Der Rang einer Matrix ist die größte Zahl linear unabhängiger Zeilen. Dieselbe Zahl ergibt sich für die Spalten. Zeilen sind linear abhängig, wenn sich eine als Summe von Vielfachen der anderen schreiben lässt, zum Beispiel wenn eine Zeile das Doppelte einer anderen ist.
So bestimmst du den Rang:
- Bringe die Matrix mit dem Gauß-Verfahren auf Zeilenstufenform. Das ändert den Rang nicht.
- Zähle die Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen. Diese Zahl ist der Rang.
Für eine Matrix mit \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten gilt \(\operatorname{Rang}(A)\le\min(m,n)\): Mehr unabhängige Zeilen als Zeilen oder mehr unabhängige Spalten als Spalten gibt es nicht. Die Einheitsmatrix \(E_n\) hat den Rang \(n\).
Bei einer quadratischen \(n\times n\)-Matrix entscheidet der Rang über die Umkehrbarkeit. Ist \(\operatorname{Rang}(A)=n\), sind alle Zeilen unabhängig. Die Matrix heißt regulär, ihre Determinante ist ungleich null und sie hat eine Inverse. Ist \(\operatorname{Rang}(A)\lt n\), hängen Zeilen voneinander ab, und die Matrix heißt singulär. Dann ist \(\det A=0\), und eine Inverse gibt es nicht.
Zeile 2 minus 2 mal Zeile 1 gibt \((0,\,1,\,1)\). Zeile 3 minus Zeile 1 gibt \((0,\,-1,\,-1)\). Addierst du die neue Zeile 2 zur neuen Zeile 3, entsteht \((0,\,0,\,0)\). Es bleiben zwei Zeilen ungleich null, also ist der Rang \(2\). Das ist kleiner als \(3\), die Matrix ist singulär. Das erklärt auch, warum die dritte Zeile von \(A\) keine neue Information liefert: Es ist Zeile 3 gleich 3 mal Zeile 1 minus Zeile 2.
Ein zweites Beispiel, mit Parameter
Für \(B=\begin{pmatrix}2&6\\3&t\end{pmatrix}\) hat \(B\) den Rang \(1\), wenn die beiden Zeilen Vielfache voneinander sind, also wenn \(\det B=2t-18=0\) gilt. Das ist für \(t=9\) der Fall. Für jedes andere \(t\) ist \(\det B\neq 0\) und der Rang ist \(2\).
Rang und Gleichungssysteme
Bei einem Gleichungssystem \(A\cdot x=b\) mit \(n\) Unbekannten ist \(\operatorname{Rang}(A)\) die Zahl der Pivotzeilen. Die übrigen \(n-\operatorname{Rang}(A)\) Unbekannten bleiben frei, wenn das System lösbar ist. Ein Widerspruch \(0=c\) mit \(c\neq 0\) entsteht genau dann, wenn der Rang der erweiterten Matrix größer ist als der Rang von \(A\). Das sind die Fälle aus „Ohne eindeutige Lösung“.