Schlupf und Schattenpreis deuten
Voraussetzung: Tableau ergänzen
Das fertige Simplex-Tableau liefert mehr als die Lösung. In Klausuren wird gefragt, was ein Wert bedeutet: Bleibt Kapazität ungenutzt? Lohnt es sich, mehr Kapazität zu kaufen, und wie viel darf sie kosten? Diese Antworten stehen im Tableau. Voraussetzung sind der ganze Simplex-Lauf und das Ablesen des Optimums.
Zwei Dinge liest du aus dem fertigen Tableau ab.
- Der Schlupf. Eine Schlupfvariable, die Basisvariable ist, hat einen Wert gleich der rechten Seite ihrer Zeile. Ist er positiv, bleibt diese Kapazität im Optimum ungenutzt. Ist die Schlupfvariable Nichtbasisvariable, ist sie \(0\), die Nebenbedingung ist bindend und die Kapazität vollständig ausgenutzt.
- Der Schattenpreis. Der Eintrag in der Zeile \(Z\) unter einer Schlupfvariablen sagt, um wie viel der optimale Zielwert etwa wächst, wenn die Kapazität dieser Nebenbedingung um eine Einheit wächst. Unter einer Basisvariablen steht dort \(0\).
Der Zusammenhang dahinter: Die Zeile \(Z\) des fertigen Tableaus lautet \(Z+s_1S_1+s_2S_2=\text{Zielwert}\). Eine zusätzliche Einheit Kapazität der ersten Nebenbedingung kommt rechts in deren Gleichung hinzu. Weil \(S_1\) Nichtbasisvariable mit dem Eintrag \(s_1\) in der Zeile \(Z\) ist, ändert sich der Zielwert um \(s_1\), solange dieselbe Ecke optimal bleibt. Das gilt nur für kleine Änderungen.
\[ \begin{array}{c|cccc|c}\text{BV}&x_1&x_2&S_1&S_2&b\\\hline x_1&1&0&2&-1&9\\x_2&0&1&-1&3&5\\\hline Z&0&0&5&7&94\end{array} \]
sind \(x_1\) und \(x_2\) Basisvariablen, \(S_1\) und \(S_2\) sind Nichtbasisvariablen und damit \(0\). Beide Kapazitäten sind ausgenutzt. Der Schattenpreis der ersten Kapazität ist \(5\), der der zweiten ist \(7\). Wächst die zweite Kapazität um \(3\) Einheiten, steigt der Zielwert um etwa \(7\cdot 3=21\) auf \(115\). Kostet jede zusätzliche Einheit weniger als \(7\), lohnt sich der Zukauf.
Ungenutzte Kapazität
Hat ein Tableau die Zeile \(S_2\) mit dem Wert \(6\) rechts und steht in der Zeile \(Z\) unter \(S_2\) eine \(0\), werden von der zweiten Kapazität \(6\) Einheiten nicht gebraucht. Mehr davon bringt keinen Zuwachs: Der Schattenpreis ist \(0\). Weniger davon, bis auf die ungenutzte Menge, würde den Zielwert nicht senken. Das ist das Gegenstück zur bindenden Nebenbedingung, deren Kapazität knapp ist und deshalb einen Preis hat.
Ein zweites Beispiel, die Grenze der Näherung
Der Schattenpreis gilt nur für kleine Änderungen. Wächst die Kapazität sehr stark, wird irgendwann eine andere Nebenbedingung bindend, und die Ecke wechselt. Dann stimmt die Faustregel „Zuwachs mal Eintrag“ nicht mehr. Für Klausurfragen mit kleinen Änderungen gilt sie. Ob sie für eine große Änderung noch gilt, müsstest du mit einem neuen Simplex-Lauf prüfen.