Tableau ergänzen
Voraussetzung: Ganzer Simplex-Lauf
In Klausuren sind Simplex-Tableaus oft unvollständig. Einzelne Einträge fehlen, und du sollst sie aus dem Tableau davor berechnen. Dazu musst du den Pivotschritt nicht als ganzen Ablauf, sondern Eintrag für Eintrag beherrschen. Voraussetzung sind die Wahl von Pivotspalte und Pivotzeile und der ganze Simplex-Lauf.
Ein Pivotschritt besteht aus zwei Teilen, und für jeden Eintrag genügt die Frage, in welcher Zeile er steht.
- In der Pivotzeile wird jeder Eintrag durch das Pivotelement geteilt. Danach steht dort in der Pivotspalte eine \(1\).
- In jeder anderen Zeile, auch in der Zeile \(Z\), wird von jedem Eintrag ein Vielfaches der neuen Pivotzeile abgezogen, und zwar das Vielfache, das die Zahl in der Pivotspalte zu \(0\) macht. Das Vielfache ist der alte Eintrag der Pivotspalte in dieser Zeile.
Die Regel gilt für jede Spalte, auch für die rechte Seite \(b\) und für die Schlupfspalten.
Alle Rechnungen haben dieselbe Form: neuer Eintrag = alter Eintrag minus Faktor mal der Eintrag der neuen Pivotzeile in derselben Spalte. Der Faktor ist für eine ganze Zeile derselbe. Bei der Zeile \(Z\) ist der alte Eintrag in der Pivotspalte negativ, deshalb wird dort effektiv ein Vielfaches addiert. Das Minus gehört zum Faktor, das gesamte Vorgehen bleibt dasselbe.
Wenn das Pivotelement nicht 1 ist
Ist das Pivotelement ungleich \(1\), wird zuerst die Pivotzeile geteilt. Hätte die Pivotzeile die Einträge \(2,\ 4,\ 1,\ 0\mid 15\), wäre das Pivotelement \(2\), und die neue Pivotzeile lautete \(1,\ 2,\ \tfrac12,\ 0\mid 7{,}5\). Danach rechnest du mit dieser Zeile weiter, genau wie im Beispiel. Brüche entstehen erst durch dieses Teilen.
Ein zweites Beispiel, ein fehlender Eintrag
Im Tableau nach dem Schritt steht in der Zeile \(S_2\) unter \(S_1\) kein Wert. Du rechnest ihn aus dem Tableau davor: alter Eintrag \(0\) minus Faktor \(3\) mal der Eintrag \(1\) der neuen Pivotzeile unter \(S_1\), also \(-3\). Die Probe ist, dass in der Pivotspalte nur noch die \(1\) der Pivotzeile steht und sonst Nullen.