Produkt
Voraussetzung: Summe
Das Produktzeichen \(\prod\) ist das Gegenstück zum Summenzeichen: Es schreibt lange Produkte kurz und genau auf. Du brauchst es bei der Fakultät und später bei Wahrscheinlichkeiten. Voraussetzung ist das Summenzeichen aus der Karte davor.
Unter dem Zeichen steht, wo das Produkt beginnt, darüber, wo es endet. Beide Grenzen gehören dazu, und die Faktoren werden multipliziert:
\[ \prod_{i=r}^{s} a_i=a_r\cdot a_{r+1}\cdot\dots\cdot a_s. \]
Ein Beispiel aus dem Skript: Sind \(P_1,\dots,P_n\) die Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle eintreten, das Produkt \(\prod_{i=1}^{n} P_i\).
Der Unterschied zur Summe liegt nur im Rechenzeichen. Das Summenzeichen addiert, das Produktzeichen multipliziert. Die Anzahl der Faktoren ist wie bei der Summe \(s-r+1\), denn beide Grenzen zählen mit. Von \(a_2\) bis \(a_4\) sind es drei Faktoren.
Ein fester Faktor
Hängt der Faktor nicht vom Index ab, steht er so oft da, wie das Zeichen Indizes hat. \(\prod_{i=1}^{3} 2=2\cdot 2\cdot 2=8\). Das ist keine Summe und nicht \(2\cdot 3\). Merke dir: Für jeden Index \(i\) von der unteren bis zur oberen Grenze gibt es einen Faktor.
Wenn der Faktor vom Index abhängt
Oft ist \(a_i\) ein Term in \(i\). Dann setzt du jeden Index ein und multiplizierst die Ergebnisse. \(\prod_{i=1}^{3}(i+1)=2\cdot 3\cdot 4=24\). Die Klammer zeigt, dass \(i+1\) zusammen der Faktor ist.
Ein Faktor null
Ist ein einziger Faktor null, ist das ganze Produkt null. Das passiert zum Beispiel bei \(\prod_{i=0}^{3} i\), weil bei \(i=0\) der Faktor \(0\) dabei ist. Achte also darauf, ob die untere Grenze null ist.