Summe
Lange Summen lassen sich mit einem Zeichen kurz und genau aufschreiben, dem Summenzeichen \(\sum\). Du brauchst es in den Ableitungen, in der Statistik und in der Optimierung immer wieder. Voraussetzung ist nur, dass du Zahlen addieren und Indizes lesen kannst.
Ein Beispiel aus dem Skript: Eine Kette hat in einer Liste die Jahresumsätze \(u_1,u_2,\dots,u_{500}\) ihrer Filialen. Der Gesamtumsatz ist \(u_1+u_2+\dots+u_{500}\), kurz \(\sum_{i=1}^{500} u_i\). Der Umsatz der Berliner Filialen steht in den Einträgen \(u_{121}\) bis \(u_{200}\), also \(\sum_{i=121}^{200} u_i\).
Unter dem Zeichen steht, wo die Summe beginnt, darüber, wo sie endet. Beide Grenzen gehören dazu:
\[ \sum_{i=r}^{s} a_i=a_r+a_{r+1}+\dots+a_s. \]
Der Buchstabe \(i\) heißt Laufindex. Er läuft von der unteren zur oberen Grenze, und für jedes \(i\) wird ein Summand gebildet. Die Anzahl der Summanden ist \(s-r+1\), denn beide Ränder zählen mit. Von \(a_2\) bis \(a_5\) sind das \(5-2+1=4\) Summanden.
Wenn der Summand vom Index abhängt
Oft ist \(a_i\) ein Term in \(i\). Dann setzt du jeden Index ein und addierst. Die Summe aller Zahlen von \(1\) bis \(10\) ist \(\sum_{i=1}^{10} i=1+2+\dots+10\). Hängt der Summand von \(i\) ab, etwa als \(2i+1\), rechnest du \(\sum_{i=1}^{3}(2i+1)=3+5+7=15\). Der Summand \(2i+1\) steht in Klammern, damit klar ist, dass beides zum Summanden gehört.
Summen zusammenfassen
Zwei Summen mit denselben Grenzen lassen sich zu einer machen: \(\sum_{i=r}^{s} a_i+\sum_{i=r}^{s} b_i=\sum_{i=r}^{s}(a_i+b_i)\). Und zwei Summen, die lückenlos aneinander anschließen, ergeben eine: \(\sum_{i=1}^{120} u_i+\sum_{i=121}^{200} u_i=\sum_{i=1}^{200} u_i\). Das hilft, wenn du nur einen Teil einer langen Liste brauchst.
Vom Summenzeichen zur Anzahl
Eine Probe zur Anzahl: Von Index \(r\) bis \(s\) liegen \(s-r\) Schritte, aber \(s-r+1\) Plätze, denn der erste Platz kommt zu den Schritten dazu. Wer nur \(s-r\) rechnet, zählt einen Summanden zu wenig.