Linearkombination
Voraussetzung: Vektoren addieren und vervielfachen
Mit Summe und Vielfachem lassen sich aus gegebenen Vektoren neue Vektoren bauen. Eine solche Mischung heißt Linearkombination. Die Frage, ob sich ein Vektor aus anderen zusammensetzen lässt, taucht bei Gleichungssystemen, bei der Basis und bei der linearen Unabhängigkeit auf, und sie führt auf ein Gleichungssystem für die Faktoren. Voraussetzung ist das Addieren und Vervielfachen von Vektoren.
Sind \(a_1,\dots,a_k\) Vektoren gleicher Dimension und \(\lambda_1,\dots,\lambda_k\) beliebige Zahlen, heißt
\[ v=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\dots+\lambda_ka_k \]
eine Linearkombination von \(a_1,\dots,a_k\). Sie ist wieder ein Vektor derselben Dimension. Mit \(\lambda_1=\lambda_2=1\) ist die Summe \(a_1+a_2\) ein Spezialfall.
Die umgekehrte Frage, ob sich ein gegebener Vektor \(v\) als Linearkombination schreiben lässt, beantwortest du so:
- Schreibe \(v=\lambda\cdot a+\mu\cdot b\) auf.
- Setze komponentenweise gleich: Jede Komponente liefert eine Gleichung für \(\lambda\) und \(\mu\).
- Löse das Gleichungssystem. Gibt es eine Lösung, ist \(v\) eine Linearkombination, die Lösung nennt die Faktoren. Gibt es keine, ist \(v\) keine.
Komponentenweise gilt \(2\lambda+\mu=8\) und \(\lambda+3\mu=9\). Aus der ersten Gleichung folgt \(\mu=8-2\lambda\). Eingesetzt in die zweite ist \(\lambda+3(8-2\lambda)=9\), also \(24-5\lambda=9\) und \(\lambda=3\). Dann ist \(\mu=8-6=2\). Probe: \(3\cdot(2,\,1)+2\cdot(1,\,3)=(6+2,\,3+6)=(8,\,9)\).
Ein zweites Beispiel, keine Linearkombination
Für \(a=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\), \(b=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\) und \(v=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}\) lautet das System \(\lambda+2\mu=3\) und \(2\lambda+4\mu=5\). Verdoppelst du die erste Gleichung, entsteht \(2\lambda+4\mu=6\). Das widerspricht der zweiten Gleichung \(2\lambda+4\mu=5\). Es gibt kein Paar \(\lambda,\mu\). Der Grund: \(b=2a\), jede Kombination \(\lambda a+\mu b=(\lambda+2\mu)\,a\) ist ein Vielfaches von \(a\), und \(v\) ist keins.
Drei Komponenten
Für Vektoren mit drei Komponenten entstehen drei Gleichungen für \(\lambda\) und \(\mu\). Mit \(a=(1,\,0,\,1)\) und \(b=(0,\,1,\,1)\) sind die Kombinationen genau die Vektoren \((\lambda,\,\mu,\,\lambda+\mu)\). Für \(v=(2,\,3,\,5)\) ist \(\lambda=2\), \(\mu=3\) und die dritte Komponente \(2+3=5\) passt. Für \(v=(2,\,3,\,4)\) passt sie nicht, \(v\) ist keine Linearkombination.