Vektoren addieren und vervielfachen
Voraussetzung: Summe von Matrizen
Ein Vektor fasst mehrere zusammengehörige Zahlen in einer Reihe zusammen, etwa die Verbrauchsmengen eines Haushalts oder die Preise von vier Produkten. Mit Vektoren rechnest du komponentenweise, und diese zwei Rechenarten, Addieren und Vervielfachen, sind die Grundlage für Skalarprodukt, Linearkombination und lineare Unabhängigkeit. Voraussetzung ist die Summe von Matrizen, denn ein Vektor ist eine Matrix mit nur einer Spalte oder nur einer Zeile.
Ein Spaltenvektor hat \(n\) Zeilen und eine Spalte, ein Zeilenvektor eine Zeile und \(n\) Spalten. Die Zahlen darin heißen Komponenten, ihre Anzahl ist die Dimension. Transponieren macht aus einem Spaltenvektor einen Zeilenvektor und umgekehrt. Beide sind verschiedene Objekte, auch mit denselben Zahlen.
Zwei Vektoren gleicher Dimension und gleicher Form addierst du komponentenweise, und einen Vektor multiplizierst du mit einer Zahl \(\lambda\), indem du jede Komponente mit \(\lambda\) multiplizierst:
\[ \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{pmatrix} \]
\[ \lambda\cdot\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda a_1\\\lambda a_2\end{pmatrix} \]
Die Differenz \(a-b\) ist \(a+(-1)\cdot b\): Du ziehst Komponente für Komponente ab.
Es gelten die Rechengesetze der Zahlen. Die Addition ist vertauschbar, \(a+b=b+a\), und beim Zusammenfassen von drei Vektoren ist die Klammerung egal. Ein Faktor lässt sich auf eine Summe verteilen, \(\lambda(a+b)=\lambda a+\lambda b\), und \((\lambda+\mu)a=\lambda a+\mu a\). Der Nullvektor, in dem alle Komponenten \(0\) sind, ändert bei der Addition nichts.
Mit \(v=\begin{pmatrix}12\\8\\5\end{pmatrix}\) und \(w=\begin{pmatrix}9\\6\\4\end{pmatrix}\) ist \(v+w=\begin{pmatrix}21\\14\\9\end{pmatrix}\) der Gesamtbedarf. Verdoppelt der erste Imbiss seine Mengen, ist \(2v=\begin{pmatrix}24\\16\\10\end{pmatrix}\).
Ein zweites Beispiel, eine Gleichung für den Faktor
Für \(a=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\), \(b=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\) und \(c=\begin{pmatrix}7\\10\end{pmatrix}\) soll \(a+t\cdot b=c\) gelten. Die erste Komponente gibt \(2+t=7\), also \(t=5\). Die zweite Komponente prüft das: \(1+5\cdot 3=16\), nicht \(10\). Es gibt also kein \(t\), das beide Komponenten erfüllt, denn \(c\) liegt nicht auf der Geraden aller \(a+t\cdot b\). Wäre \(c=\begin{pmatrix}7\\16\end{pmatrix}\), passte es.
Der Nullvektor und der Gegenvektor
Der Nullvektor \(0\) hat lauter Nullen. Zu jedem Vektor \(a\) gibt es den Gegenvektor \(-a\) mit \(a+(-a)=0\), alle Komponenten wechseln das Vorzeichen. Die Differenz \(a-b\) ist die Summe von \(a\) und dem Gegenvektor von \(b\).