Skalarprodukt, Norm und Orthogonalität
Voraussetzung: Vektoren addieren und vervielfachen
Das Skalarprodukt verbindet zwei Vektoren zu einer einzigen Zahl. Es steckt hinter vielen Rechnungen mit Preisen und Mengen (Preisvektor mal Mengenvektor gibt die Gesamtkosten), es misst die Länge eines Vektors, und es entscheidet, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Voraussetzung ist das Rechnen mit Vektoren, also Summe und Vielfaches.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(a\) und \(b\) mit \(n\) Komponenten ist die Summe der Produkte gleicher Komponenten:
\[ a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n. \]
Das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor. Als Matrixprodukt ist es Zeilenvektor mal Spaltenvektor, \(a^T\cdot b\).
Zwei Größen leiten sich daraus ab:
- Die Norm oder Länge eines Vektors ist \(\|a\|=\sqrt{a\cdot a}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2}\). Das ist der Satz des Pythagoras in \(n\) Dimensionen.
- Zwei Vektoren sind orthogonal, stehen also senkrecht aufeinander, genau dann, wenn \(a\cdot b=0\) gilt.
Das Skalarprodukt ist \(1\cdot 2+2\cdot(-2)+2\cdot 1=2-4+2=0\). Die Vektoren sind orthogonal. Die Normen sind \(\|a\|=\sqrt{1+4+4}=3\) und \(\|b\|=\sqrt{4+4+1}=3\).
Ein zweites Beispiel, Preis mal Menge
Ein Händler kauft drei Waren zu den Preisen \(p=(4,\,6,\,5)\) Geldeinheiten und in den Mengen \(q=(10,\,3,\,8)\). Die Gesamtkosten sind das Skalarprodukt \(p\cdot q=40+18+40=98\). Hier hat die Zahl eine Einheit, Geld, und das Produkt gleicher Komponenten ist der Betrag je Ware.
Orthogonal bei einem Parameter
Für \(a=(t,\,2,\,1)\) und \(b=(3,\,1,\,-5)\) ist \(a\cdot b=3t+2-5=3t-3\). Orthogonal sind die Vektoren genau für \(3t-3=0\), also \(t=1\). Für jedes andere \(t\) schließen sie einen Winkel ein, der nicht \(90^\circ\) ist.