Lineare Unabhängigkeit
Voraussetzung: Linearkombination
Vektoren sind linear unabhängig, wenn jeder eine Richtung beiträgt, die die anderen nicht schon enthalten. Das entscheidet, ob ein Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, ob eine Matrix eine Inverse hat und wie viele Zahlen nötig sind, um alles zu beschreiben. In der Klausur fragt man meist, ob gegebene Vektoren unabhängig sind oder für welchen Wert eines Parameters sie es nicht mehr sind. Voraussetzung ist die Linearkombination.
Vektoren \(a_1,\dots,a_k\) sind linear unabhängig, wenn sich keiner als Linearkombination der anderen schreiben lässt. Gleichwertig: Die Gleichung
\[ \lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\dots+\lambda_ka_k=0 \]
hat nur die triviale Lösung \(\lambda_1=\dots=\lambda_k=0\). Gibt es eine Lösung mit mindestens einem \(\lambda_i\neq 0\), heißen sie linear abhängig. Zwei Vektoren sind abhängig genau dann, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Ist der Nullvektor dabei, sind sie abhängig.
Für genau so viele Vektoren wie Komponenten hast du einen einfachen Test: Schreibe die Vektoren als Spalten in eine quadratische Matrix. Ist ihre Determinante ungleich null, sind die Vektoren linear unabhängig. Ist sie null, sind sie abhängig. Der Grund: Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn \(A\cdot\lambda=0\) nur die Lösung \(\lambda=0\) hat. Mehr Vektoren als Komponenten sind immer abhängig, denn es gibt nicht genug unabhängige Richtungen.
Die Matrix mit den Spalten \(u\), \(v\), \(w\) ist \(\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&2\\0&1&1\end{pmatrix}\). Nach Sarrus gilt für die fallenden Diagonalen \(1\cdot 1\cdot 1+0\cdot 2\cdot 0+1\cdot 1\cdot 1=2\), für die steigenden \(1\cdot 1\cdot 0+1\cdot 2\cdot 1+0\cdot 1\cdot 1=2\). Die Determinante ist \(2-2=0\). Die Vektoren sind linear abhängig. Tatsächlich ist \(w=u+v\).
Ein zweites Beispiel, mit einem Parameter
Für \(u=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\) und \(v=\begin{pmatrix}3\\t\end{pmatrix}\) ist die Determinante der Spaltenmatrix \(1\cdot t-3\cdot 2=t-6\). Die Vektoren sind abhängig für \(t=6\). Dann ist \(v=3u\). Für jedes andere \(t\) sind sie unabhängig.
Eine Teilmenge reicht
Sind unter vier Vektoren drei abhängig, ist die ganze Vierergruppe abhängig. Und ist einer der Vektoren eine Linearkombination der anderen, kannst du ihn streichen, ohne dass sich ändert, was sich aus den Vektoren zusammensetzen lässt. Das Streichen wiederholst du, bis die übrigen Vektoren unabhängig sind.